Ideea lecției
Distanța măsoară separarea dintre puncte sau dintre un punct și o dreaptă. Congruența exprimă faptul că două figuri coincid prin suprapunere și păstrează lungimi și unghiuri.
Definiții și noțiuni-cheie
- Distanța dintre două puncte A și B este lungimea segmentului \([AB]\).
- Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă.
- Două figuri care coincid prin suprapunere se numesc congruente.
Reguli și proprietăți
- Distanța este nenegativă și este 0 exact pentru puncte coincidente.
- Distanța de la un punct aflat pe dreaptă la acea dreaptă este 0.
- Figurile congruente au elemente corespunzătoare egale.
Exemplu rezolvat
Pasul 1. Din P coborâm perpendiculara \(PH\) pe dreapta d.
Pasul 2. Dacă \(PH=4\text{ cm}\), atunci aceasta este cea mai scurtă distanță de la P la d.
Pasul 3. Prin definiție, \(d(P,d)=4\text{ cm}\).
Concluzie: \(4\text{ cm}\)
Atenție
Nu măsura distanța de la punct la dreaptă pe un segment oblic; distanța este lungimea perpendicularei.
Verificare rapidă
Două segmente de 7 cm sunt congruente?
Răspuns: Da.
Exerciții
1
Punctele A și B sunt la distanța de 8 cm. Cât este lungimea segmentului AB?
2
Punctul P aparține dreptei d. Care este distanța de la P la d?
3
Din P se duc segmentele PA, PB spre dreapta d, iar \(PA\perp d\), \(PA=4\) cm, \(PB=6\) cm. Care este distanța de la P la d?
4
Două cercuri au raze egale de 5 cm. Sunt congruente?
5
Două unghiuri au fiecare \(72^\circ\). Sunt congruente?
6
Două dreptunghiuri au dimensiunile 3 cm × 5 cm și 5 cm × 3 cm. Sunt congruente?
7
Distanța dintre două puncte poate fi negativă?
8
Dacă \(AB=BC=5\) cm și A, B, C sunt coliniare cu B între A și C, află AC.
9
Figurile F și G sunt congruente. Dacă un segment din F are 7 cm, cât are segmentul corespunzător din G?
10
De ce segmentul perpendicular de la un punct P la o dreaptă d reprezintă distanța P-d?