Ideea lecției
Simetria păstrează forma și mărimea figurilor. Se studiază simetria față de un punct, simetria față de o dreaptă și efectul lor asupra coordonatelor și figurilor.
Definiții și noțiuni-cheie
- A și A' sunt simetrice față de punctul O dacă O este mijlocul segmentului \([AA']\).
- A și A' sunt simetrice față de dreapta d dacă d este mediatoarea segmentului \([AA']\).
- Figurile simetrice prin simetrie centrală sau axială sunt congruente.
Reguli și proprietăți
- Față de origine, \((x,y)\mapsto(-x,-y)\).
- Față de axa \(Ox\), \((x,y)\mapsto(x,-y)\); față de \(Oy\), \((x,y)\mapsto(-x,y)\).
- Centrul cercului este centru de simetrie, iar orice diametru determină o axă de simetrie a cercului.
Exemplu rezolvat
Pasul 1. Simetricul lui \(P(3,-2)\) față de origine schimbă semnul ambelor coordonate.
Pasul 2. Obținem \(P'(-3,2)\).
Pasul 3. Mijlocul segmentului \([PP']\) este \(O(0,0)\), deci verificarea este satisfăcută.
Concluzie: \(P'(-3,2)\)
Atenție
Simetria față de o axă nu schimbă ambele coordonate: se schimbă doar coordonata perpendiculară pe axa respectivă.
Verificare rapidă
Simetricul lui \(A(2,5)\) față de \(Ox\) este?
Răspuns: \(A'(2,-5)\).
Exerciții
1
Află simetricul punctului \(A(3,-4)\) față de origine.
2
Află simetricul lui \(B(-2,5)\) față de axa Ox.
3
Află simetricul lui \(C(4,-1)\) față de axa Oy.
4
Punctele A(2,3) și A'(-2,-3) sunt simetrice față de ce punct?
5
Dacă A și A' sunt simetrice față de O, ce rol are O pentru segmentul AA'?
6
Dacă A și A' sunt simetrice față de dreapta d, ce rol are d pentru segmentul AA'?
7
Un punct se află chiar pe axa de simetrie d. Care este simetricul lui față de d?
8
Câte axe de simetrie are un cerc?
9
Este centrul cercului un centru de simetrie?
10
Punctele A(1,4) și B(5,-2) sunt simetrice față de punctul M. Află M.