Ideea lecției
Perpendicularitatea definește distanța de la un punct la o dreaptă, iar mediatoarea unui segment reunește punctele egal depărtate de extremitățile segmentului.
Definiții și noțiuni-cheie
- Două drepte sunt perpendiculare dacă formează un unghi drept.
- Mediatoarea segmentului este dreapta perpendiculară pe segment în mijlocul său.
- Orice punct de pe mediatoarea segmentului este egal depărtat de extremitățile segmentului.
Reguli și proprietăți
- Reciproca: dacă un punct este egal depărtat de extremitățile unui segment, atunci punctul aparține mediatoarei.
- Dintr-un punct exterior unei drepte se poate construi perpendiculara pe dreaptă.
- Distanța de la punct la dreaptă este lungimea acestei perpendiculare.
Exemplu rezolvat
Pasul 1. P este pe mediatoarea segmentului AB și \(PA=7\text{ cm}\).
Pasul 2. Prin proprietatea mediatoarei, \(PA=PB\).
Pasul 3. Deci \(PB=7\text{ cm}\).
Concluzie: \(7\text{ cm}\)
Atenție
Faptul că un punct este pe o dreaptă care trece prin mijlocul segmentului nu este suficient: dreapta trebuie să fie și perpendiculară pe segment.
Verificare rapidă
Dacă \(PA=PB\), unde se află P față de segmentul AB?
Răspuns: Pe mediatoarea segmentului AB.
Exerciții
1
Dreapta d este mediatoarea segmentului AB, iar P aparține lui d. Dacă \(PA=6\) cm, află PB.
2
Punctul P satisface \(PA=PB\). Unde se află P față de segmentul AB?
3
M este mijlocul lui AB și \(d\perp AB\) în M. Ce este dreapta d?
4
P este exterior dreptei a. Segmentul PH este perpendicular pe a și \(PH=5\) cm. Care este distanța de la P la a?
5
Două drepte perpendiculare formează câte unghiuri drepte la intersecție?
6
Dacă \(a\perp b\) și \(b\parallel c\), ce relație au a și c?
7
Punctele A și B sunt la 10 cm distanță. Punctul M este mijlocul segmentului. Cât este AM?
8
Un punct P este pe mediatoarea lui AB și \(PA=3x+1,\ PB=5x-7\). Află x.
9
Poate mediatoarea unui segment să fie paralelă cu segmentul?
10
Dacă P este pe mediatoarea lui AB, ce tip de triunghi este PAB, presupunând P nu aparține lui AB?