Ideea lecției
Numerele iraționale apar atunci când o mărime nu poate fi exprimată ca fracție de numere întregi. Manualul introduce rădăcina pătrată, radicalii și exemple clasice precum \(\sqrt2\).
Definiții și noțiuni-cheie
- Pentru \(a\ge0\), \(\sqrt a\) este numărul nenegativ al cărui pătrat este \(a\).
- Un număr irațional nu poate fi scris ca \(\frac mn\) cu \(m\in\mathbb Z,n\in\mathbb N^*\); scrierea sa zecimală este infinită neperiodică.
- Dacă \(a=b^2\) cu \(b\ge0\), atunci \(\sqrt a=b\).
Reguli și proprietăți
- \(\sqrt{a^2}=|a|\) pentru orice număr real \(a\).
- Radicalii se pot aproxima localizând numărul între pătrate perfecte consecutive.
- Nu există rădăcină pătrată reală pentru un număr negativ.
Exemplu rezolvat
Pasul 1. Localizăm \(\sqrt{10}\).
Pasul 2. Deoarece \(3^2=9<10<16=4^2\), rezultă \(3<\sqrt{10}<4\).
Pasul 3. O aproximare zecimală este \(\sqrt{10}\approx3{,}16\).
Concluzie: \(3<\sqrt{10}<4\)
Atenție
Simbolul \(\sqrt a\) desemnează rădăcina pătrată nenegativă. De exemplu, \(\sqrt9=3\), nu \(\pm3\).
Verificare rapidă
Între ce două numere naturale consecutive se află \(\sqrt{20}\)?
Răspuns: Între 4 și 5.
Exerciții
1
Calculează \(\sqrt{81}\).
2
Între ce două numere naturale consecutive se află \(\sqrt{30}\)?
3
Precizează dacă \(\sqrt2\) este rațional sau irațional.
4
Calculează \(\sqrt{0{,}49}\).
5
Calculează \(\sqrt{(-5)^2}\).
6
Care dintre numerele \(\sqrt{16},\sqrt7,\frac{11}{3},\pi\) sunt iraționale?
7
Aproximează \(\sqrt{10}\) la o zecimală știind că \(3{,}1^2=9{,}61\) și \(3{,}2^2=10{,}24\).
8
Rezolvă în \(\mathbb R\): \(x^2=49\).
9
Calculează latura unui pătrat cu aria \(36\text{ cm}^2\).
10
Este definit în \(\mathbb R\) numărul \(\sqrt{-9}\)?