Ideea lecției
Liniile importante ale triunghiului sunt concurente în puncte remarcabile: mediatoarele, bisectoarele, înălțimile și medianele. Lecția pune accent deosebit pe centrul de greutate și raportul în care acesta împarte medianele.
Definiții și noțiuni-cheie
- Mediatoarele laturilor sunt concurente în centrul cercului circumscris, egal depărtat de vârfuri.
- Bisectoarele sunt concurente în centrul cercului înscris, egal depărtat de laturi.
- Înălțimile sunt concurente în ortocentru; medianele sunt concurente în centrul de greutate G.
Reguli și proprietăți
- Centrul de greutate împarte fiecare mediană în raport \(2:1\) măsurat de la vârf.
- Dacă M este mijlocul lui BC și G este centrul de greutate, atunci \(AG=2GM\) și \(AG=\frac23AM\).
- Poziția ortocentrului și a centrului cercului circumscris depinde de tipul triunghiului.
Exemplu rezolvat
Pasul 1. Mediana AM are 12 cm și G este centrul de greutate.
Pasul 2. Centrul de greutate împarte mediana în trei părți egale conceptual, două de la vârf și una spre mijloc.
Pasul 3. Deci \(AG=\frac23\cdot12=8\text{ cm}\) și \(GM=4\text{ cm}\).
Concluzie: \(AG=8\text{ cm},\ GM=4\text{ cm}\)
Atenție
Nu confunda centrele: intersecția medianelor este centrul de greutate, nu centrul cercului înscris sau circumscris.
Verificare rapidă
Dacă \(AM=15\text{ cm}\) este mediană, cât este \(AG\)?
Răspuns: \(10\text{ cm}\).
Exerciții
1
Mediana AM are 18 cm, iar G este centrul de greutate. Află AG.
2
În aceeași situație, află GM.
3
Dacă \(AG=10\) cm și G este centrul de greutate pe mediana AM, află GM.
4
Dacă \(GM=4\) cm, află întreaga mediană AM.
5
Cum se numește punctul de intersecție al medianelor?
6
Cum se numește punctul de intersecție al înălțimilor?
7
Cum se numește punctul de intersecție al mediatoarelor laturilor?
8
Cum se numește punctul de intersecție al bisectoarelor?
9
Într-un triunghi dreptunghic, unde se află centrul cercului circumscris?
10
Medianele AM și BN se intersectează în G, iar \(AG=8\) cm și \(BG=10\) cm. Află AM și BN.