A03 - Proprietățile puterilor și ordinea operațiilor

Ideea lecției

Regulile puterilor comprimă calcule lungi în pași scurți. Ele trebuie folosite numai când forma expresiei corespunde exact regulii: aceeași bază, putere a unei puteri sau putere a unui produs.

Vom lucra lent: mai întâi înțelegem sensul noțiunii, apoi alegem regula potrivită și abia la final efectuăm calculele.

Noțiuni-cheie

  • Pentru aceeași bază: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\).
  • Dacă \(m>n\): \(a^m:a^n=a^{m-n}\).
  • \((a^m)^n=a^{mn}\), iar \((ab)^n=a^n b^n\).

Reguli și pași de lucru

  • Într-o expresie fără paranteze, puterile se calculează înaintea înmulțirilor și adunărilor.
  • La produs de puteri cu aceeași bază adunăm exponenții, nu bazele.
  • La putere a unei puteri înmulțim exponenții.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Simplifică \(2^3\cdot2^4\).

Pasul 1. Bazele sunt egale, deci aplicăm regula produsului puterilor.

Pasul 2. Adunăm exponenții: \(2^{3+4}=2^7\).

Pasul 3. Dacă dorim valoarea numerică: \(2^7=128\).

Răspuns final: \(2^7=128\)

Greșeală frecventă

Nu este corect \(2^3+2^4=2^7\); regula adunării exponenților se aplică la înmulțire, nu la adunare.

Verificare rapidă

  • Cât este \(3^5:3^2\)?
    Vezi răspunsul

    \(\,3^3\).

  • Cum se scrie \((5^2)^3\)?
    Vezi răspunsul

    \(\,5^6\).

  • Ce se calculează mai întâi în \(2+3^2\)?
    Vezi răspunsul

    Puterea \(3^2\).

Exerciții

1
Simplifică \(3^2\cdot3^5\).

\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)

2
Simplifică \(7^8:7^3\).

\(a^m:a^n=a^{m-n}\)

3
Simplifică \((2^3)^4\).

\((a^m)^n=a^{mn}\)

4
Simplifică \((3\cdot5)^2\).
5
Calculează \(2+3^2\cdot4\).
6
Calculează \((2+3)^2-4\).
7
Simplifică \(5^7:5^2\cdot5\).
8
Calculează \(4^3:2^4\).
9
Simplifică \((2^2)^3\cdot2^4:2^5\).
10
Află \(n\) dacă \(3^n\cdot3^2=3^7\).
Înapoi Următor