Ideea lecției
Divizibilitatea descrie când o împărțire se face exact, fără rest. Din această idee apar divizorii unui număr și multiplii lui.
Vom lucra lent: mai întâi înțelegem sensul noțiunii, apoi alegem regula potrivită și abia la final efectuăm calculele.
Noțiuni-cheie
- \(b\mid a\) înseamnă că există un număr natural \(c\) cu \(a=b\cdot c\).
- Un divizor al lui \(a\) îl împarte exact pe \(a\).
- Un multiplu al lui \(b\) are forma \(b\cdot n\), cu \(n\in\mathbb N\).
Reguli și pași de lucru
- Mulțimea divizorilor unui număr natural nenul este finită.
- Mulțimea multiplilor unui număr natural nenul este infinită și îl conține pe 0.
- 1 și numărul însuși sunt întotdeauna divizori ai unui număr natural nenul.
Exemplu rezolvat lent
Problemă. Scrie divizorii pozitivi ai lui 18.
Pasul 1. Căutăm perechi de factori care dau 18: \(1\cdot18\), \(2\cdot9\), \(3\cdot6\).
Pasul 2. Adunăm toți factorii diferiți.
Răspuns final: \(\{1,2,3,6,9,18\}\)
Greșeală frecventă
Nu confunda „12 este divizor al lui 36” cu „36 este divizor al lui 12”. Ordinea contează.
Verificare rapidă
- Este 4 divizor al lui 20?
Vezi răspunsul
Da, deoarece \(20=4\cdot5\).
- Scrie primii patru multipli nenegativi ai lui 7.
Vezi răspunsul
- Câți multipli are un număr natural nenul?
Vezi răspunsul
Exerciții
1
Scrie toți divizorii lui 12.
2
Scrie primii șase multipli nenegativi ai lui 5.
3
Este 7 divizor al lui 63?
4
Este 18 multiplu al lui 4?
5
Află divizorii proprii ai lui 20.
6
Scrie multiplii lui 6 mai mici decât 40.
7
Află numerele naturale pozitive care sunt divizori comuni ai lui 18 și 30.
8
Află primii trei multipli comuni pozitivi ai lui 4 și 6.
9
Un număr are exact divizorii \(1,2,4,8,16\). Care este numărul?
10
Găsește cel mai mic număr natural pozitiv care este multiplu de 8 și mai mare decât 50.