A07 - Cel mai mare divizor comun

Ideea lecției

C.m.m.d.c. arată cea mai mare mărime în care putem împărți exact două sau mai multe cantități. Este util în împărțirea în grupe egale și simplificarea fracțiilor.

Vom lucra lent: mai întâi înțelegem sensul noțiunii, apoi alegem regula potrivită și abia la final efectuăm calculele.

Noțiuni-cheie

  • C.m.m.d.c. al numerelor \(a\) și \(b\) este cel mai mare divizor comun al lor.
  • Se poate nota \((a,b)\).
  • Dacă \((a,b)=1\), numerele sunt prime între ele.

Reguli și pași de lucru

  • Descompune numerele în factori primi.
  • Păstrează numai factorii comuni, cu exponentul cel mai mic.
  • Înmulțește factorii păstrați.

Exemplu rezolvat lent

Problemă. Calculează \((84,126)\).

Pasul 1. \(84=2^2\cdot3\cdot7\).

Pasul 2. \(126=2\cdot3^2\cdot7\).

Pasul 3. Factorii comuni cu exponenții minimi sunt \(2\cdot3\cdot7=42\).

Răspuns final: \((84,126)=42\)

Greșeală frecventă

Pentru c.m.m.d.c. nu luăm toți factorii din ambele descompuneri; luăm doar factorii comuni.

Verificare rapidă

  • Cât este \((18,24)\)?
    Vezi răspunsul

    6.

  • Ce înseamnă \((8,15)=1\)?
    Vezi răspunsul

    8 și 15 sunt prime între ele.

  • Dacă 12 divide 36, cât este \((12,36)\)?
    Vezi răspunsul

    12.

Exerciții

1
Calculează \((12,18)\).
2
Calculează \((20,30)\).
3
Calculează \((24,36)\).
4
Sunt 14 și 25 prime între ele?
5
Calculează \((72,108)\).

\((a,b)=\prod p^{\min(\alpha,\beta)}\)

6
Calculează \((45,75,105)\).
7
Se împart 48 de mere și 60 de pere în pachete identice, fără rest. Care este numărul maxim de pachete?
8
Pentru \((a,36)=12\), dă un exemplu de valoare pentru \(a\) mai mică decât 36.
9
Calculează \((2^4\cdot3^2,\ 2^3\cdot3^5)\).
10
Dacă \((a,b)=8\), poate fi 12 divizor comun al lui a și b?
Înapoi Următor