Ideea lecției
Două mărimi sunt invers proporționale când creșterea uneia produce scăderea celeilalte în același factor. Produsul valorilor corespunzătoare rămâne constant.
Vom lucra lent: mai întâi înțelegem sensul noțiunii, apoi alegem regula potrivită și abia la final efectuăm calculele.
Noțiuni-cheie
- Pentru mărimi invers proporționale \(a,b\), produsul \(ab\) este constant.
- Exemplu: pentru aceeași distanță, viteza și timpul sunt invers proporționale.
- Dacă una se dublează, cealaltă se înjumătățește.
Reguli și pași de lucru
- Identifică produsul constant.
- Află valoarea necunoscută prin împărțire.
- Verifică dacă sensul rezultatului este logic: mai mulți lucrători → mai puțin timp, în condiții similare.
Exemplu rezolvat lent
Problemă. 6 muncitori termină o lucrare în 10 zile. În aceleași condiții, în câte zile ar termina 12 muncitori?
Pasul 1. Produsul muncitori·zile rămâne constant: \(6\cdot10=60\).
Pasul 2. Pentru 12 muncitori: \(60:12=5\) zile.
Răspuns final: \(5\) zile
Greșeală frecventă
Nu orice două mărimi care cresc/scad sunt proporționale. Trebuie verificată relația constantă.
Verificare rapidă
- Dacă viteza se dublează pentru aceeași distanță, timpul?
Vezi răspunsul
- 4 pompe golesc un bazin în 6 h. 8 pompe, idealizat?
Vezi răspunsul
- Ce rămâne constant la proporționalitate inversă?
Vezi răspunsul
Exerciții
1
Dacă 4 muncitori fac o lucrare în 12 zile, în câte zile o fac 8 muncitori, idealizat?
2
O distanță se parcurge în 5 h cu 60 km/h. Cât durează la 75 km/h?
3
Completează tabelul invers proporțional: \(x=2,4,8\), \(y=24,12,?\).
4
Dacă \(xy=36\) și \(x=9\), află y.
5
6 robinete identice umplu un bazin în 10 h. În câte ore 12 robinete?
6
Pentru aceeași distanță, viteza crește de 3 ori. Cum se schimbă timpul?
7
8 muncitori fac lucrarea în 15 zile. Câți muncitori ar fi necesari pentru 10 zile?
8
Un tren merge cu 90 km/h timp de 4 h. Ce viteză trebuie pentru aceeași distanță în 3 h?
9
Dacă x și y sunt invers proporționale, \(x_1/x_2=2/5\). Ce raport are \(y_1/y_2\)?
10
O echipă de 15 persoane are hrană pentru 24 zile. Dacă se alătură încă 5 persoane, pentru câte zile ajunge aceeași hrană?