Aplicații ale derivatelor: optimizare și strategie de rezolvare
În aplicații, derivata nu e „doar un calcul”. Ea îți spune cum se schimbă o mărime și te ajută să găsești cea mai bună variantă: maxim (cel mai mare) sau minim (cel mai mic) În orice problemă de optimizare faci mereu același lucru: construiești o funcție \( \displaystyle F(x) \) care reprezintă ce vrei să maximizezi/minimizezi, stabilești domeniul lui \( \displaystyle x \), apoi cauți maximul/minimul lui \( \displaystyle F \) 1 Alegi variabila \( \displaystyle x \) (ce poți schimba) 2 Scrii mărimea de optimizat \( \displaystyle F(x) \) 3 Stabilești domeniul \( \displaystyle x\in[a,b] \) din condiții reale 4 Calculezi \( \displaystyle F'(x) \) și rezolvi \( \displaystyle F'(x)=0 \) 5 Verifici și capetele domeniului (dacă există) 6 Alegi valoarea care dă maximul/minimul și o traduci înapoi în problemă Ce apare des: parabole sau funcții simple pe un interval închis De obicei: găsești punctul critic din \( \displaystyle F'(x)=0 \), apoi compari cu valorile la capete Exemplu rezolvat Găsește maximul lui \( \displaystyle F(x)=-x^2+4x \) pe \( \displaystyle [0,4] \) \( \displaystyle F'(x)=-2x+4 \) \( \displaystyle F'(x)=0 \Rightarrow -2x+4=0 \Rightarrow x=2 \) Verificăm: \( \displaystyle F(0)=0 \), \( \displaystyle F(4)=0 \), \( \displaystyle F(2)=4 \) Concluzie \( \displaystyle F_{\max}=4 \) la \( \displaystyle x=2 \) Ce e important: să exprimi corect dimensiunile după tăiere și îndoire, apoi volumul ca funcție de \( \displaystyle x \) Pătratele verzi sunt bucățile tăiate, fiecare cu latura \( \displaystyle x \) Exemplu rezolvat Tablă \( \displaystyle 50\times 80 \), se taie pătrate \( \displaystyle x \) din colțuri, găsește \( \displaystyle x \) pentru volum maxim Înălțimea cutiei \( \displaystyle =x \) Baza devine \( \displaystyle (50-2x)(80-2x) \) \( \displaystyle V(x)=x(50-2x)(80-2x) \) Domeniu: \( \displaystyle 50-2x\ge 0 \Rightarrow x\le 25 \) și \( \displaystyle x\ge 0 \) deci \( \displaystyle x\in[0,25] \) Dezvoltăm: \( \displaystyle V(x)=4x^3-260x^2+4000x \) \( \displaystyle V'(x)=12x^2-520x+4000 \) Rezolvând \( \displaystyle V'(x)=0 \) și păstrând soluția din \( \displaystyle [0,25] \) obținem \( \displaystyle x=10 \) La capete \( \displaystyle V(0)=0 \), \( \displaystyle V(25)=0 \) deci maximul e în interior Concluzie volumul este maxim pentru \( \displaystyle x=10 \) Truc: scrii una dintre laturi în funcție de cealaltă, apoi maximizezi aria Exemplu rezolvat Dreptunghi cu perimetru \( \displaystyle 20 \) cm, găsește aria maximă Fie laturile \( \displaystyle x \) și \( \displaystyle y \) \( \displaystyle 2(x+y)=20 \Rightarrow x+y=10 \Rightarrow y=10-x \) \( \displaystyle A(x)=xy=x(10-x)=10x-x^2 \) \( \displaystyle A'(x)=10-2x \Rightarrow A'(x)=0 \Rightarrow x=5 \) Atunci \( \displaystyle y=10-5=5 \) \( \displaystyle A_{\max}=5\cdot 5=25 \) Concluzie aria maximă apare la pătrat Truc: aria e \( \displaystyle \frac{xy}{2} \), iar condiția \( \displaystyle x+y=a \) îți dă \( \displaystyle y=a-x \) Exemplu rezolvat Dacă \( \displaystyle x+y=10 \), găsește aria maximă a unui triunghi dreptunghic \( \displaystyle y=10-x \) \( \displaystyle A(x)=\frac{xy}{2}=\frac{x(10-x)}{2}=\frac{10x-x^2}{2} \) \( \displaystyle A'(x)=\frac{10-2x}{2} \Rightarrow A'(x)=0 \Rightarrow x=5 \) Atunci \( \displaystyle y=5 \) \( \displaystyle A_{\max}=\frac{5\cdot 5}{2}=12.5 \) Concluzie aria maximă apare când catetele sunt egale Ce verifici (în ordinea cea mai practică): 1 Domeniu \( \displaystyle D_f \) 2 Intersecții cu axele și semnul funcției 3 Limite la capete și asimptote 4 \( \displaystyle f'(x) \) pentru monotonie și extreme 5 \( \displaystyle f''(x) \) pentru convexitate și inflexiune 6 Puncte-cheie și schița finală Exemplu rezolvat Studiază rapid \( \displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x} \), \( \displaystyle x\ne 0 \) Domeniu \( \displaystyle \mathbb{R}\setminus\{0\} \) Asimptotă verticală \( \displaystyle x=0 \) deoarece \( \displaystyle \frac{1}{x}\to\pm\infty \) Asimptotă oblică \( \displaystyle y=x \) deoarece \( \displaystyle f(x)-x=\frac{1}{x}\to 0 \) la \( \displaystyle x\to\pm\infty \) \( \displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2} \Rightarrow f'(x)=0 \) la \( \displaystyle x=\pm 1 \) Semn: crește pe \( \displaystyle (-\infty,-1) \) și \( \displaystyle (1,\infty) \), scade pe \( \displaystyle (-1,0) \) și \( \displaystyle (0,1) \) Extreme: maxim local la \( \displaystyle x=-1 \), minim local la \( \displaystyle x=1 \) \( \displaystyle f''(x)=\frac{2}{x^3} \) convexă pe \( \displaystyle (0,\infty) \), concavă pe \( \displaystyle (-\infty,0) \)Aplicații ale derivatelor: optimizare și strategie de rezolvare
Ideea de bază
Rețeta de optimizare (pas cu pas)
Tip 1: optimizare „algebrică” (funcție simplă pe interval)
Tip 2: optimizare geometrică (cutie fără capac dintr-o tablă)
Tip 3: dreptunghi cu perimetru fix (aria maximă)
Tip 4: triunghi dreptunghic cu suma catetelor fixă (aria maximă)
Strategie generală la „aplicații ale derivatelor” (studiu de funcție)