Unghi diedru și plane perpendiculare
Ideea de bază: unghiul dintre două plane se măsoară printr-un „unghi liniar” construit într-un plan perpendicular pe muchia comună
Ce este un unghi diedru
Două semiplane \( \displaystyle \alpha_1 \) și \( \displaystyle \beta_1 \) cu muchia comună \( \displaystyle m \) formează un unghi diedru
Intersecția unghiului diedru cu un plan \( \displaystyle \gamma \) perpendicular pe muchia \( \displaystyle m \) se numește unghi liniar al unghiului diedru
Măsura unghiului diedru este măsura unui unghi liniar al lui
Plane perpendiculare (definiție + criteriu)
Două plane \( \displaystyle \alpha \) și \( \displaystyle \beta \) sînt perpendiculare dacă unghiul diedru dintre ele are \( \displaystyle 90^\circ \)
Criteriu foarte important:
două plane sînt perpendiculare dacă și numai dacă unul dintre ele conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan
Scriere: \( \displaystyle \alpha\perp \beta \iff \exists d\subset \alpha \text{ cu } d\perp \beta \)
Relație practică cu arii (cînd ai o proiecție)
Dacă \( \displaystyle \varphi \) este unghiul diedru dintre planul triunghiului și planul \( \displaystyle \alpha \),
atunci aria proiecției ortogonale satisface
\( \displaystyle A_{\text{pr}}=A\cos\varphi \)
Exemplu rezolvat (din arii)
Un triunghi are aria \( \displaystyle A=30 \ \text{cm}^2 \). Proiecția lui ortogonală pe planul \( \displaystyle \alpha \) are aria \( \displaystyle A_{\text{pr}}=24 \ \text{cm}^2 \).
Determină \( \displaystyle \varphi \), unghiul diedru dintre cele două plane
Din \( \displaystyle A_{\text{pr}}=A\cos\varphi \) rezultă
\( \displaystyle \cos\varphi=\frac{A_{\text{pr}}}{A}=\frac{24}{30}=\frac45 \)
\( \displaystyle \varphi=\arccos\frac45 \)
Exerciții
1
Calculează \( \displaystyle \cos\varphi \) dacă \( \displaystyle A=50 \) și \( \displaystyle A_{\text{pr}}=30 \)
2
Calculează \( \displaystyle A_{\text{pr}} \) dacă \( \displaystyle A=18 \) și \( \displaystyle \varphi=60^\circ \)
3
Demonstrează că planele \( \displaystyle \alpha \) și \( \displaystyle \beta \) sînt perpendiculare dacă există \( \displaystyle d\subset \alpha \) cu \( \displaystyle d\perp \beta \)
4
Calculează \( \displaystyle \varphi \) dacă \( \displaystyle A_{\text{pr}}=\frac{\sqrt3}{2}A \)
5
Două plane \( \displaystyle \alpha \) și \( \displaystyle \beta \) se intersectează pe dreapta \( \displaystyle m \). În planul \( \displaystyle \alpha \) există o dreaptă \( \displaystyle a \) cu \( \displaystyle a\perp m \) și \( \displaystyle a\perp \beta \). Concluzionează poziția lui \( \displaystyle \alpha \) față de \( \displaystyle \beta \)