Pe scurt: valorile funcției nu trec peste anumite “garduri”
Definiții
Funcția este mărginită superior dacă există \( \displaystyle M \) cu \( \displaystyle f(x)\le M \) pentru orice \( \displaystyle x\in E \)
Funcția este mărginită inferior dacă există \( \displaystyle m \) cu \( \displaystyle m\le f(x) \) pentru orice \( \displaystyle x\in E \)
Funcția este mărginită dacă există \( \displaystyle m,M \) astfel încât \( \displaystyle m\le f(x)\le M \) pentru orice \( \displaystyle x\in E \)
\( \displaystyle M=\sup_{x\in E} f(x) \) și \( \displaystyle m=\inf_{x\in E} f(x) \) se numesc marginea superioară și marginea inferioară ale funcției
Exemplu rezolvat
Problemă Pentru \( \displaystyle f(x)=x^2 \) pe intervalul \( \displaystyle [-2,2] \) găsește o mărginire și \( \displaystyle \sup \), \( \displaystyle \inf \)
Pentru \( \displaystyle f(x)=\sin x \) pe \( \displaystyle \mathbb{R} \) dă o mărginire
Răspuns: \( \displaystyle -1\le \sin x\le 1 \)
2
Pentru \( \displaystyle f(x)=x \) pe \( \displaystyle (0,1) \) dă \( \displaystyle \sup \) și \( \displaystyle \inf \)
Răspuns: \( \displaystyle \sup=1,\ \inf=0 \)
3
Pentru \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \) pe \( \displaystyle (0,1] \) spune dacă e mărginită superior
Răspuns: \( \displaystyle \text{Nu} \)
4
Pentru \( \displaystyle f(x)=x^2 \) pe \( \displaystyle \mathbb{R} \) spune dacă e mărginită inferior
Răspuns: \( \displaystyle \text{Da} \)
5
Pentru \( \displaystyle f(x)=x^2 \) pe \( \displaystyle [-1,3] \) dă \( \displaystyle \sup \) și \( \displaystyle \inf \)
Răspuns: \( \displaystyle \sup=9,\ \inf=0 \)
Răspunsuri
1
\( \displaystyle -1\le \sin x\le 1 \)
2
\( \displaystyle \sup=1,\ \inf=0 \)
3
\( \displaystyle \text{Nu} \)
4
\( \displaystyle \text{Da} \)
5
\( \displaystyle \sup=9,\ \inf=0 \)
Rezolvări
1
Funcția sinus ia valori doar între \( \displaystyle -1 \) și \( \displaystyle 1 \) Deci e mărginită
2
Valorile se apropie de \( \displaystyle 0 \) și \( \displaystyle 1 \) dar nu le ating \( \displaystyle \inf=0 \), \( \displaystyle \sup=1 \)
3
Când \( \displaystyle x\to 0^+ \), \( \displaystyle \frac{1}{x}\to +\infty \) Deci nu există un \( \displaystyle M \) care să o mărginească superior
4
\( \displaystyle x^2\ge 0 \) pentru orice \( \displaystyle x \) Deci e mărginită inferior cu \( \displaystyle m=0 \)
5
Minimul e la \( \displaystyle x=0 \) dacă intervalul îl conține, aici da \( \displaystyle f(0)=0 \) Maximul e la capătul cu modul mai mare, \( \displaystyle x=3 \Rightarrow 9 \)