Dacă ai funcții continue, multe combinații rămân continue
Teorema
Dacă \( \displaystyle f \) și \( \displaystyle g \) sunt continue în \( \displaystyle x_0 \), atunci și
\( \displaystyle \alpha f \), \( \displaystyle f+g \), \( \displaystyle f-g \), \( \displaystyle f\cdot g \) sunt continue în \( \displaystyle x_0 \)
Dacă în plus \( \displaystyle g(x_0)\neq 0 \), atunci și \( \displaystyle \frac{f}{g} \) este continuă în \( \displaystyle x_0 \)
Exemplu rezolvat
Problemă Arată că \( \displaystyle h(x)=\frac{x^2+1}{x-1} \) este continuă în \( \displaystyle x_0=2 \)
\( \displaystyle x^2+1 \) și \( \displaystyle x-1 \) sunt polinoame deci sunt continue peste tot
În \( \displaystyle x_0=2 \), numitorul este \( \displaystyle 2-1=1\neq 0 \)
Prin teoremă, raportul este continuu în \( \displaystyle 2 \)
Exerciții
1
Spune dacă \( \displaystyle f(x)=x^2 \) și \( \displaystyle g(x)=\sin x \) au suma continuă în \( \displaystyle x_0=0 \)
Răspuns: \( \displaystyle \text{Da} \)
2
Spune dacă \( \displaystyle h(x)=(x-3)(x^2+1) \) este continuă în \( \displaystyle x_0=3 \)
Răspuns: \( \displaystyle \text{Da} \)
3
Spune dacă \( \displaystyle h(x)=\frac{x^2}{x-1} \) este continuă în \( \displaystyle x_0=1 \)
Răspuns: \( \displaystyle \text{Nu} \)
4
Pentru \( \displaystyle f(x)=|x| \) și \( \displaystyle g(x)=x^2 \) spune dacă \( \displaystyle f\cdot g \) e continuă în \( \displaystyle x_0=0 \)
Răspuns: \( \displaystyle \text{Da} \)
5
Pentru \( \displaystyle f(x)=x+1 \) și \( \displaystyle g(x)=x-1 \) spune unde \( \displaystyle \frac{f}{g} \) e continuă