Operaţii cu funcţii derivabile

Derivata sumei și diferenței reguli

Reguli

\( \displaystyle (f+g)'=f'+g' \)

\( \displaystyle (f-g)'=f'-g' \)

\( \displaystyle (c\cdot f)'=c\cdot f' \)

Pe scurt: derivata „se distribuie” peste sumă și scoate constanta în față

Exemplu rezolvat

Determină derivata pentru \( \displaystyle f(x)=3x^2-2\sin x+5 \)

\( \displaystyle f'(x)=3\cdot (x^2)'-2(\sin x)'+(5)' \)

\( \displaystyle f'(x)=3\cdot 2x-2\cos x+0=6x-2\cos x \)

Am derivat pe rând fiecare termen

Derivata produsului regula produsului

Regula

\( \displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g' \)

Ușor de ținut minte: „derivata primului ori al doilea + primul ori derivata celui de-al doilea”

Exemplu rezolvat

Determină derivata pentru \( \displaystyle f(x)=x^2\sin x \)

\( \displaystyle f'(x)=(x^2)'\sin x+x^2(\sin x)' \)

\( \displaystyle f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x \)

Derivata câtului și funcția compusă două reguli esențiale

Regula câtului

\( \displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2} \)

Se aplică atunci când \( \displaystyle g(x)\neq 0 \)

Regula lanțului (funcția compusă)

Dacă \( \displaystyle y=f(u) \) și \( \displaystyle u=g(x) \), atunci \( \displaystyle y'=f'(u)\cdot u' \)

Mai simplu: derivi „exteriorul”, apoi înmulțești cu derivata „interiorului”

Exemplu rezolvat 1 (cât)

Determină derivata pentru \( \displaystyle f(x)=\frac{x^2}{\sin x} \)

Aici \( \displaystyle f(x)=\frac{u}{v} \) cu \( \displaystyle u=x^2 \), \( \displaystyle v=\sin x \)

\( \displaystyle u'=2x \), \( \displaystyle v'=\cos x \)

\( \displaystyle f'(x)=\frac{2x\sin x-x^2\cos x}{\sin^2 x} \)

Exemplu rezolvat 2 (compunere)

Determină derivata pentru \( \displaystyle f(x)=\sin(3x) \)

Exterior: \( \displaystyle \sin u \Rightarrow (\sin u)'=\cos u \)

Interior: \( \displaystyle u=3x \Rightarrow u'=3 \)

\( \displaystyle f'(x)=\cos(3x)\cdot 3=3\cos(3x) \)

Calculează derivata pentru \( \displaystyle f(x)=x^3+2x \) \( \displaystyle 3x^2+2 \)
\( \displaystyle (x^3)'=3x^2 \)
\( \displaystyle (2x)'=2 \)
\( \displaystyle f'(x)=3x^2+2 \)
Calculează derivata pentru \( \displaystyle f(x)=5\sin x-\cos x \) \( \displaystyle 5\cos x+\sin x \)
\( \displaystyle (5\sin x)'=5\cos x \)
\( \displaystyle (-\cos x)'=+\sin x \)
\( \displaystyle f'(x)=5\cos x+\sin x \)
Calculează derivata pentru \( \displaystyle f(x)=7e^x+3 \) \( \displaystyle 7e^x \)
\( \displaystyle (7e^x)'=7e^x \)
\( \displaystyle (3)'=0 \)
\( \displaystyle f'(x)=7e^x \)
Calculează derivata pentru \( \displaystyle f(x)=\ln x+2x^2 \) \( \displaystyle \frac{1}{x}+4x \)
\( \displaystyle (\ln x)'=\frac{1}{x} \)
\( \displaystyle (2x^2)'=4x \)
\( \displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}+4x \)
Calculează derivata pentru \( \displaystyle f(x)=4x^5-3x^2+1 \) \( \displaystyle 20x^4-6x \)
\( \displaystyle (4x^5)'=4\cdot 5x^4=20x^4 \)
\( \displaystyle (-3x^2)'=-3\cdot 2x=-6x \)
\( \displaystyle (1)'=0 \)
\( \displaystyle f'(x)=20x^4-6x \)
Calculează derivata pentru \( \displaystyle f(x)=x\cdot e^x \) \( \displaystyle e^x+xe^x \)
\( \displaystyle f'(x)=(x)'\cdot e^x+x\cdot (e^x)' \)
\( \displaystyle f'(x)=1\cdot e^x+x\cdot e^x=e^x+xe^x \)
Calculează derivata pentru \( \displaystyle f(x)=x^3\cos x \) \( \displaystyle 3x^2\cos x-x^3\sin x \)
\( \displaystyle f'(x)=(x^3)'\cos x+x^3(\cos x)' \)
\( \displaystyle f'(x)=3x^2\cos x+x^3(-\sin x)=3x^2\cos x-x^3\sin x \)
Calculează derivata pentru \( \displaystyle f(x)=\ln x\cdot x \) \( \displaystyle \ln x+1 \)
\( \displaystyle f'(x)=(\ln x)'\cdot x+\ln x\cdot (x)' \)
\( \displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}\cdot x+\ln x\cdot 1=1+\ln x \)
Calculează derivata pentru \( \displaystyle f(x)=2^x\cdot x^2 \) \( \displaystyle 2^x\ln 2\cdot x^2+2^x\cdot 2x \)
\( \displaystyle f'(x)=(2^x)'\cdot x^2+2^x\cdot (x^2)' \)
\( \displaystyle f'(x)=2^x\ln 2\cdot x^2+2^x\cdot 2x \)
Calculează derivata pentru \( \displaystyle f(x)=\sin x\cdot \cos x \) \( \displaystyle \cos^2 x-\sin^2 x \)
\( \displaystyle f'(x)=(\sin x)'\cos x+\sin x(\cos x)' \)
\( \displaystyle f'(x)=\cos x\cdot \cos x+\sin x\cdot (-\sin x)=\cos^2 x-\sin^2 x \)
Calculează derivata pentru \( \displaystyle f(x)=\frac{x}{e^x} \) \( \displaystyle \frac{e^x-xe^x}{e^{2x}} \)
\( \displaystyle u=x,\ v=e^x,\ u'=1,\ v'=e^x \)
\( \displaystyle f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{1\cdot e^x-x\cdot e^x}{(e^x)^2}=\frac{e^x-xe^x}{e^{2x}} \)
Calculează derivata pentru \( \displaystyle f(x)=\frac{\cos x}{x} \) \( \displaystyle \frac{-x\sin x-\cos x}{x^2} \)
\( \displaystyle u=\cos x,\ v=x,\ u'=-\sin x,\ v'=1 \)
\( \displaystyle f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{(-\sin x)\cdot x-\cos x\cdot 1}{x^2}=\frac{-x\sin x-\cos x}{x^2} \)
Calculează derivata pentru \( \displaystyle f(x)=\ln(2x) \) \( \displaystyle \frac{1}{x} \)
\( \displaystyle u=2x \Rightarrow f(x)=\ln u \)
\( \displaystyle (\ln u)'=\frac{1}{u}\cdot u'=\frac{1}{2x}\cdot 2=\frac{1}{x} \)
Calculează derivata pentru \( \displaystyle f(x)=e^{3x} \) \( \displaystyle 3e^{3x} \)
\( \displaystyle u=3x,\ f(x)=e^u \)
\( \displaystyle (e^u)'=e^u\cdot u'=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x} \)
Calculează derivata pentru \( \displaystyle f(x)=\cos(5x) \) \( \displaystyle -5\sin(5x) \)
\( \displaystyle u=5x,\ f(x)=\cos u \)
\( \displaystyle (\cos u)'=-\sin u\cdot u'=-\sin(5x)\cdot 5=-5\sin(5x) \)

Înapoi Următor