Proprietatea progresiei geometrice: media geometrică
Proprietate (pentru termeni pozitivi)
Într-o progresie geometrică cu termeni pozitivi, orice termen (începând cu al doilea) este media geometrică a vecinilor
\( \displaystyle b_n=\sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}\)
Echivalent: \( \displaystyle b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}\)
Explicație simplă
În PG, \( \displaystyle \frac{b_n}{b_{n-1}}=q\) și \( \displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}=q\). Deci \( \displaystyle b_{n-1}\cdot q=b_n\) și \( \displaystyle b_n\cdot q=b_{n+1}\)
Înmulțind, obții \( \displaystyle b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}\)
Exemplu rezolvat (practic)
Problemă
Într-o PG pozitivă se știe că \( \displaystyle b_2=6\) și \( \displaystyle b_4=54\)
Determină \( \displaystyle b_3\)
Aplicăm \( \displaystyle b_3^2=b_2b_4\)
\( \displaystyle b_3^2=6\cdot 54=324\), deci \( \displaystyle b_3=\sqrt{324}=18\)
Exerciții
1
Într-o PG pozitivă \( \displaystyle b_1=4\) și \( \displaystyle b_3=36\) calculează \( \displaystyle b_2\)
Răspuns: \( \displaystyle b_2=12\)
2
Verifică dacă \( \displaystyle 2,6,18\) pot fi trei termeni consecutivi ai unei PG pozitive
Răspuns: \( \displaystyle \) da
3
Găsește \( \displaystyle x\) astfel încât \( \displaystyle 3,x,48\) să fie termeni consecutivi ai unei PG pozitive
Răspuns: \( \displaystyle x=12\)
4
Într-o PG \( \displaystyle b_2=10\), \( \displaystyle b_3=5\) calculează \( \displaystyle b_1\)
Răspuns: \( \displaystyle b_1=20\)
5
Dacă \( \displaystyle b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}\) pentru orice \( \displaystyle n\ge 2\) și toți termenii sunt pozitivi, ce fel de șir este
Răspuns: \( \displaystyle \) progresie geometrică
Răspunsuri
1
\( \displaystyle b_2=12\)
3
\( \displaystyle x=12\)
4
\( \displaystyle b_1=20\)
5
\( \displaystyle \) progresie geometrică
Rezolvări
1
Aplicăm \( \displaystyle b_2^2=b_1b_3\). Deci \( \displaystyle b_2^2=4\cdot 36=144\), \( \displaystyle b_2=\sqrt{144}=12\)
2
Verifici \( \displaystyle 6^2=2\cdot 18\). Ai \( \displaystyle 36=36\), deci condiția e îndeplinită și sunt termeni consecutivi ai unei PG
3
Condiția este \( \displaystyle x^2=3\cdot 48=144\), deci \( \displaystyle x=\sqrt{144}=12\)
4
Rația este \( \displaystyle q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{5}{10}=\frac12\). Atunci \( \displaystyle b_2=b_1q\), deci \( \displaystyle 10=b_1\cdot \frac12\), rezultă \( \displaystyle b_1=20\)
5
Relația este proprietatea caracteristică a termenilor consecutivi în PG pozitivă, ceea ce indică existența unei rații constante între termeni