Puncte de discontinuitate

Când funcția “se rupe” într-un punct

Speța I

\( \displaystyle x_0 \) este punct de discontinuitate de speța I dacă limitele laterale \( \displaystyle f(x_0-0) \) și \( \displaystyle f(x_0+0) \) există și sunt finite, dar sunt diferite sau nu coincid cu \( \displaystyle f(x_0) \)

Saltul în \( \displaystyle x_0 \) este \( \displaystyle f(x_0+0)-f(x_0-0) \)

Speța II

\( \displaystyle x_0 \) este punct de discontinuitate de speța II dacă cel puțin una dintre limitele laterale este infinită sau nu există

Exemplu rezolvat

Problemă Pentru \( \displaystyle f(x)=\begin{cases}\sin x,&x<0\\2,&x\ge 0\end{cases} \) studiază continuitatea în \( \displaystyle 0 \)

\( \displaystyle f(0-0)=\lim_{x\to 0^-}\sin x=0 \)

\( \displaystyle f(0+0)=\lim_{x\to 0^+}2=2 \)

Limitele laterale sunt finite, dar diferite, deci \( \displaystyle 0 \) este discontinuitate de speța I

Saltul este \( \displaystyle 2-0=2 \)

Cum verifici practic continuitatea în \( \displaystyle x_0 \)

Rețeta simplă în 3 pași

Pașii

1) Calculezi \( \displaystyle f(x_0) \)

2) Calculezi \( \displaystyle f(x_0-0) \) și \( \displaystyle f(x_0+0) \) (dacă e cazul)

3) Dacă \( \displaystyle f(x_0-0)=f(x_0+0)=f(x_0) \), atunci funcția e continuă în \( \displaystyle x_0 \)

Exemplu rezolvat

Problemă \( \displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2,&01\end{cases} \) verifică în \( \displaystyle x_0=1 \)

\( \displaystyle f(1)=1^2=1 \)

\( \displaystyle f(1-0)=\lim_{x\to 1^-}x^2=1 \)

\( \displaystyle f(1+0)=\lim_{x\to 1^+}(x+1)=2 \)

Limitele laterale sunt diferite, deci funcția nu este continuă în \( \displaystyle 1 \)

Exerciții

1
Pentru \( \displaystyle f(x)=\begin{cases}1,&x<1\\3,&x\ge 1\end{cases} \) determină speța discontinuității în \( \displaystyle x_0=1 \)
2
Calculează saltul pentru exercițiul anterior
3
Pentru \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x-2} \) spune speța discontinuității în \( \displaystyle x_0=2 \)
4
Pentru \( \displaystyle f(x)=\begin{cases}x,&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases} \) spune dacă există discontinuitate în \( \displaystyle 0 \)
5
Pentru \( \displaystyle f(x)=\begin{cases}0,&x\in\mathbb{Q}\\1,&x\notin\mathbb{Q}\end{cases} \) spune ce se întâmplă în \( \displaystyle x_0=0 \)
6
Pentru \( \displaystyle f(x)=\begin{cases}x+2,&x<0\\x^2,&x\ge 0\end{cases} \) verifică în \( \displaystyle x_0=0 \)
7
Pentru \( \displaystyle f(x)=\begin{cases}2x,&x\le 1\\2,&x>1\end{cases} \) verifică în \( \displaystyle x_0=1 \)
8
Pentru \( \displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} \) verifică în \( \displaystyle x_0=2 \)
9
Pentru \( \displaystyle f(x)=\begin{cases}1,&x\neq 2\\1,&x=2\end{cases} \) verifică în \( \displaystyle x_0=2 \)
10
Pentru \( \displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x},&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases} \) verifică în \( \displaystyle x_0=0 \)

Răspunsuri

Rezolvări

Înapoi Următor