Ideea simplă: la înmulțire se înmulțesc modulele și se adună argumentele, la împărțire se împart modulele și se scad argumentele

Dacă \( \displaystyle z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)\) și \( \displaystyle z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)\), atunci
\( \displaystyle z_1\cdot z_2=r_1r_2\big(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)\big)\)
Dacă \( \displaystyle z_2\neq 0\), atunci
\( \displaystyle \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\big(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)\big)\)

De ținut minte
Modulul produsului: \( \displaystyle |z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|\)
Argumentul produsului: \( \displaystyle \arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\) (până la \(2\pi k\))

Exemplu rezolvat
Calculează \( \displaystyle z_1z_2\), unde \( \displaystyle z_1=2\Big(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\Big)\), \( \displaystyle z_2=3\Big(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\Big)\)

Înmulțim modulele: \( \displaystyle r=2\cdot 3=6\)
Adunăm argumentele: \( \displaystyle \varphi=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\)
Deci \( \displaystyle z_1z_2=6\Big(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\Big)=6i\)

Exerciții

Răspuns: \( \displaystyle 8\Big(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\Big)\)

Răspuns: \( \displaystyle 2\Big(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\Big)=2i\)

Răspuns: \( \displaystyle 10\)

Răspuns: \( \displaystyle -\frac{2\pi}{7}\)

Răspuns: \( \displaystyle \cos(2\varphi)+i\sin(2\varphi)\)