Rezultat

Dacă \( \displaystyle f(x)=c \) (constantă), atunci \( \displaystyle f'(x)=0 \)

Explicație simplă: funcția nu se schimbă, deci „viteza de schimbare” e 0

Exemplu rezolvat (prin definiție)

Fie \( \displaystyle f(x)=7 \). Atunci

\( \displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{7-7}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}0=0 \)

Rezultat

Pentru \( \displaystyle f(x)=x \), derivata este \( \displaystyle f'(x)=1 \)

Explicație simplă: dacă \( \displaystyle x \) crește cu 1, atunci și \( \displaystyle f(x) \) crește cu 1

Exemplu rezolvat (prin definiție)

\( \displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x_0+\Delta x)-x_0}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta x}=1 \)

Rezultat foarte folosit

Dacă \( \displaystyle f(x)=x^n \) cu \( \displaystyle n\in\mathbb{N} \), atunci

\( \displaystyle f'(x)=n\cdot x^{n-1} \)

Explicație simplă: derivata „coboară” exponentul în față și scade exponentul cu 1

Exemplu rezolvat

Calculează derivata pentru \( \displaystyle f(x)=x^5 \)

\( \displaystyle f'(x)=5x^4 \)

De exemplu, \( \displaystyle f'(2)=5\cdot 2^4=5\cdot 16=80 \)

Rezultat

\( \displaystyle (\sin x)'=\cos x \)

Acesta este un rezultat de bază (foarte folosit mai departe)

Exemplu rezolvat

Calculează \( \displaystyle \frac{d}{dx}(\sin x) \) și apoi \( \displaystyle (\sin x)' \) în \( \displaystyle x_0=0 \)

\( \displaystyle (\sin x)'=\cos x \Rightarrow (\sin x)'_{|x=0}=\cos 0=1 \)

Interpretare: în 0, sinus „crește” cu viteză 1

Rezultat

\( \displaystyle (\cos x)'=-\sin x \)

De reținut: la cosinus apare semnul minus

Exemplu rezolvat

Calculează \( \displaystyle f'(0) \) pentru \( \displaystyle f(x)=\cos x \)

\( \displaystyle f'(x)=-\sin x \Rightarrow f'(0)=-\sin 0=0 \)

În \( \displaystyle x=0 \), cosinus are pantă 0

Domeniu și rezultat

Tangentă este definită când \( \displaystyle \cos x\neq 0 \)

\( \displaystyle (\tg x)'=\frac{1}{\cos^2 x} \)

Se mai scrie și \( \displaystyle (\tg x)'=1+\tg^2 x \)

Exemplu rezolvat

Calculează \( \displaystyle f'\left(\frac{\pi}{4}\right) \) pentru \( \displaystyle f(x)=\tg x \)

\( \displaystyle f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x} \Rightarrow f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{1}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=2 \)

Domeniu și rezultat

Cotangentă este definită când \( \displaystyle \sin x\neq 0 \)

\( \displaystyle (\ctg x)'=-\frac{1}{\sin^2 x} \)

Semnul minus e foarte important

Exemplu rezolvat

Calculează \( \displaystyle f'\left(\frac{\pi}{2}\right) \) pentru \( \displaystyle f(x)=\ctg x \)

\( \displaystyle f'(x)=-\frac{1}{\sin^2 x} \Rightarrow f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right)}=-\frac{1}{1}=-1 \)

Rezultat

\( \displaystyle (e^x)'=e^x \)

Adică derivata este aceeași funcție

Exemplu rezolvat

Calculează \( \displaystyle f'(0) \) pentru \( \displaystyle f(x)=e^x \)

\( \displaystyle f'(x)=e^x \Rightarrow f'(0)=e^0=1 \)

Rezultat

Pentru \( \displaystyle a>0 \) și \( \displaystyle a\neq 1 \)

\( \displaystyle (a^x)'=a^x\ln a \)

Observă că apare factorul \( \displaystyle \ln a \)

Exemplu rezolvat

Calculează derivata pentru \( \displaystyle f(x)=2^x \)

\( \displaystyle f'(x)=2^x\ln 2 \)

De exemplu \( \displaystyle f'(0)=2^0\ln 2=\ln 2 \)

Domeniu și rezultat

Funcția \( \displaystyle \ln x \) este definită pentru \( \displaystyle x>0 \)

\( \displaystyle (\ln x)'=\frac{1}{x} \)

Regulă simplă: derivata lui \( \displaystyle \ln x \) este „unu pe x”

Exemplu rezolvat

Calculează \( \displaystyle f'(e) \) pentru \( \displaystyle f(x)=\ln x \)

\( \displaystyle f'(x)=\frac{1}{x} \Rightarrow f'(e)=\frac{1}{e} \)

Domeniu și rezultat

Pentru \( \displaystyle a>0 \), \( \displaystyle a\neq 1 \), și \( \displaystyle x>0 \)

\( \displaystyle (\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a} \)

Se bazează pe relația \( \displaystyle \log_a x=\frac{\ln x}{\ln a} \)

Exemplu rezolvat

Calculează derivata pentru \( \displaystyle f(x)=\log_2 x \)

\( \displaystyle f'(x)=\frac{1}{x\ln 2} \)

În \( \displaystyle x=1 \), \( \displaystyle f'(1)=\frac{1}{\ln 2} \)