Definiție: sistem omogen dacă toți termenii liberi sunt 0
Formă: \( \displaystyle AX=0 \)
Fapt important
Soluția \( \displaystyle X=0 \) (toate necunoscutele zero) există mereu și se numește soluție trivială
Soluții nebanale apar dacă \( \displaystyle r(A)
Exemplu rezolvat
Rezolvă \( \displaystyle \begin{cases} x+y+z=0\\ 2x+2y+2z=0 \end{cases} \)
Ecuațiile sunt dependente, rămâne \( \displaystyle x+y+z=0 \)
Alegem \( \displaystyle y=s,\; z=t \Rightarrow x=-s-t \)
Soluții nebanale există (de exemplu \( \displaystyle (1,-1,0) \))
Exerciții
1
Rezolvă \( \displaystyle \begin{cases} x-y=0\\ 2x-2y=0 \end{cases} \)
Răspuns: \( \displaystyle (x,y)=(t,\; t) \)
2
Rezolvă \( \displaystyle \begin{cases} x+y+z=0\\ x-y+z=0 \end{cases} \)
Răspuns: \( \displaystyle (x,y,z)=(-t,\; 0,\; t) \)
3
Spune dacă sistemul omogen \( \displaystyle \begin{cases} x+2y=0\\ 2x+4y=0 \end{cases} \) are soluții nebanale
Răspuns: \( \displaystyle \text{Da} \)
4
Rezolvă \( \displaystyle \begin{cases} x+y=0\\ x-y=0 \end{cases} \)
Răspuns: \( \displaystyle x=0,\; y=0 \)
5
Determină \( \displaystyle k \) ca \( \displaystyle \begin{cases} x+ky=0\\ 2x+2ky=0 \end{cases} \) să aibă soluții nebanale
Răspuns: \( \displaystyle \text{Pentru orice } k \)
Răspunsuri
1
\( \displaystyle (x,y)=(t,\; t) \)
2
\( \displaystyle (x,y,z)=(-t,\; 0,\; t) \)
3
\( \displaystyle \text{Da} \)
4
\( \displaystyle x=0,\; y=0 \)
5
\( \displaystyle \text{Pentru orice } k \)
Rezolvări
1
A doua ecuație e aceeași, rămâne \( \displaystyle x=y \), deci \( \displaystyle x=t,\; y=t \)
2
Scădem ecuațiile: \( \displaystyle 2y=0\Rightarrow y=0 \), apoi \( \displaystyle x+z=0 \Rightarrow x=-z \), punem \( \displaystyle z=t \Rightarrow x=-t \)
3
Ecuațiile sunt dependente, \( \displaystyle r(A)=1<2 \Rightarrow \) există infinit de soluții, nu doar triviala
4
Adunăm: \( \displaystyle 2x=0\Rightarrow x=0 \), apoi \( \displaystyle y=0 \), doar soluția trivială
5
A doua e mereu \( \displaystyle 2\cdot \) prima, deci \( \displaystyle r(A)=1<2 \Rightarrow \) parametri indiferent de \( \displaystyle k \)