Două drepte în spațiu pot fi secante dacă au un punct comun \( \displaystyle a\cap b=\{C\} \) paralele dacă sunt în același plan și nu au puncte comune sau coincid \( \displaystyle a\cap b=\varnothing \) ori \( \displaystyle a\equiv b \) necoplanare dacă nu există un plan care să le conțină pe ambele, acestea se numesc drepte strâmbe
Test simplu pentru coplanaritate
Alegi un punct \( \displaystyle B\in b \) și construiești planul \( \displaystyle (B,a) \)
Dacă dreapta \( \displaystyle b \) este inclusă în acest plan, atunci dreptele sunt coplanare
Dacă dreapta \( \displaystyle b \) nu este în plan, atunci dreptele sunt necoplanare
Schiță: drepte strâmbe
Dreptele \( \displaystyle a \) și \( \displaystyle b \) nu se intersectează și nu sunt coplanare
Schiță: drepte paralele
Dreptele paralele sunt coplanare
Exemplu rezolvat
Într-un cub \( \displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1 \) stabilește relația dintre dreptele \( \displaystyle AB \) și \( \displaystyle CC_1 \)
Dreapta \( \displaystyle AB \) este muchie din planul bazei \( \displaystyle (ABCD) \)
Dreapta \( \displaystyle CC_1 \) este muchie verticală și nu aparține planului \( \displaystyle (ABCD) \)
Dreptele \( \displaystyle AB \) și \( \displaystyle CC_1 \) nu se intersectează deoarece nu au punct comun în cub
Ele nu sunt paralele, fiindcă nu pot fi cuprinse în același plan al unei fețe a cubului
Concluzie: \( \displaystyle AB \) și \( \displaystyle CC_1 \) sunt drepte necoplanare, adică drepte strâmbe
Exerciții
1
În cubul \( \displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1 \), stabilește relația dintre \( \displaystyle AB \) și \( \displaystyle CD \)
Răspuns: Paralele
2
În cubul \( \displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1 \), stabilește relația dintre \( \displaystyle AB \) și \( \displaystyle BB_1 \)
Răspuns: Secante
3
În cubul \( \displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1 \), stabilește relația dintre \( \displaystyle AB \) și \( \displaystyle CC_1 \)
Răspuns: Drepte strâmbe
4
Dacă \( \displaystyle a\parallel b \) și \( \displaystyle b\parallel c \), ce poți spune despre \( \displaystyle a \) și \( \displaystyle c \)
Răspuns: \( \displaystyle a\parallel c \)
5
Alege un criteriu simplu ca să verifici dacă două drepte \( \displaystyle a \) și \( \displaystyle b \) sunt coplanare
Răspuns: Construiești planul \( \displaystyle (B,a) \) cu \( \displaystyle B\in b \) și verifici dacă \( \displaystyle b\subset(B,a) \)
Răspunsuri
1
Paralele
2
Secante
3
Drepte strâmbe
4
\( \displaystyle a\parallel c \)
5
Construiești planul \( \displaystyle (B,a) \) cu \( \displaystyle B\in b \) și verifici dacă \( \displaystyle b\subset(B,a) \)
Rezolvări
1
Muchiile opuse ale feței \( \displaystyle ABCD \) sunt paralele, iar \( \displaystyle AB \) și \( \displaystyle CD \) sunt în același plan, deci sunt paralele
2
Dreptele au punct comun \( \displaystyle B \), deci se intersectează, prin urmare sunt secante
3
Nu au punct comun și nu pot fi cuprinse într-un singur plan al unei fețe, deci sunt necoplanare, adică drepte strâmbe
4
Drepte paralele au aceeași direcție, iar direcția se păstrează prin paralelism, deci \( \displaystyle a \) este paralelă cu \( \displaystyle c \)
5
Dacă \( \displaystyle b \) intră în planul determinat de \( \displaystyle a \) și un punct al lui \( \displaystyle b \), atunci ambele sunt în același plan și deci sunt coplanare