• Dacă \( \displaystyle r(A)\neq r(A|B) \Rightarrow \) sistem incompatibil
• Dacă \( \displaystyle r(A)=r(A|B)=n \Rightarrow \) soluție unică
• Dacă \( \displaystyle r(A)=r(A|B)
Exemplu rezolvat
Decide câte soluții are \( \displaystyle \begin{cases} x+y+z=1\\ 2x+2y+2z=2\\ x+y+z=2 \end{cases} \)
A doua ecuație e \( \displaystyle 2\cdot \) prima, dar a treia contrazice prima
După eliminare apare \( \displaystyle 0=1 \Rightarrow r(A|B)>r(A) \Rightarrow \) incompatibil
Exerciții
1
Spune dacă \( \displaystyle \begin{cases} x+y=2\\ 2x+2y=4 \end{cases} \) are soluție unică
Răspuns: \( \displaystyle \text{Nu} \)
2
Spune dacă \( \displaystyle \begin{cases} x+y=2\\ x+y=3 \end{cases} \) este compatibil
Răspuns: \( \displaystyle \text{Nu} \)
3
Pentru \( \displaystyle \begin{cases} x+y+z=1\\ x+y+z=1\\ 2x+2y+2z=2 \end{cases} \) spune câte soluții sunt
Răspuns: \( \displaystyle \text{Infinit} \)
4
Sistemul \( \displaystyle \begin{cases} x-y=0\\ y-z=0\\ x-z=0 \end{cases} \) are soluție unică
Răspuns: \( \displaystyle \text{Nu} \)
5
Determină condiția ca \( \displaystyle \begin{cases} x+ky=1\\ 2x+2ky=2 \end{cases} \) să fie compatibil
Răspuns: \( \displaystyle \text{Compatibil pentru orice } k \)
Răspunsuri
1
\( \displaystyle \text{Nu} \)
2
\( \displaystyle \text{Nu} \)
3
\( \displaystyle \text{Infinit} \)
4
\( \displaystyle \text{Nu} \)
5
\( \displaystyle \text{Compatibil pentru orice } k \)
Rezolvări
1
Ecuațiile sunt dependente, \( \displaystyle r(A)=r(A|B)=1<2 \Rightarrow \) infinit de soluții
2
Aceeași stângă, termeni liberi diferiți \(\displaystyle \Rightarrow r(A|B)>r(A)\)
3
Toate ecuațiile sunt aceeași condiție, \( \displaystyle r(A)=r(A|B)=1<3 \Rightarrow \) parametri
4
Toate impun \( \displaystyle x=y=z \), deci o infinitate: \( \displaystyle x=t,\; y=t,\; z=t \)
5
A doua ecuație este mereu \( \displaystyle 2\cdot \) prima, inclusiv termenul liber, deci nu apare contradicție \(\displaystyle \Rightarrow\) compatibil