Ideea: determinantul unui pătrat de numere (o matrice pătrată) este un număr care “măsoară” dacă matricea e inversabilă și apare direct la rezolvarea sistemelor
Dacă \( \displaystyle \det(A)\neq 0 \), atunci \( \displaystyle A \) e inversabilă și un sistem \( \displaystyle AX=B \) are soluție unică
Minorul lui \( \displaystyle a_{ij} \): determinantul obținut ștergând linia \( \displaystyle i \) și coloana \( \displaystyle j \)
Cofactorul: \( \displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} \)
Dezvoltarea (Laplace) după linia \( \displaystyle i \):
\( \displaystyle \det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\cdots+a_{in}C_{in} \)
Similar după o coloană \( \displaystyle j \)
Exemplu rezolvat
Calculează \( \displaystyle \Delta=\begin{vmatrix} 1&2&0\\ -1&3&1\\ 2&0&1 \end{vmatrix} \) dezvoltând după linia 1
Avem \( \displaystyle \Delta=1\cdot C_{11}+2\cdot C_{12}+0\cdot C_{13} \)
\( \displaystyle M_{11}=\begin{vmatrix} 3&1\\ 0&1\end{vmatrix}=3\Rightarrow C_{11}=(-1)^{2}\cdot 3=3 \)
\( \displaystyle M_{12}=\begin{vmatrix} -1&1\\ 2&1\end{vmatrix}=(-1)\cdot 1-1\cdot 2=-3\Rightarrow C_{12}=(-1)^{3}\cdot(-3)=3 \)
Deci \( \displaystyle \Delta=1\cdot 3+2\cdot 3=9 \)