Numere complexe – bazele (forma algebrică)

Definiție

Un număr complex se scrie \( \displaystyle z=a+bi \) unde \( \displaystyle a,b\in\mathbb{R} \) și \( \displaystyle i^2=-1 \)

Partea reală \( \displaystyle \operatorname{Re}z=a \), partea imaginară \( \displaystyle \operatorname{Im}z=b \)

Operații (rapid)

\( \displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i \)

\( \displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i \)

Regula simplă: lucrezi ca la polinoame și înlocuiești \( \displaystyle i^2 \) cu \( \displaystyle -1 \)

Conjugat și modul

Conjugatul lui \( \displaystyle z=a+bi \) este \( \displaystyle \overline{z}=a-bi \)

\( \displaystyle z\overline{z}=a^2+b^2 \) (număr real nenegativ)

Modulul: \( \displaystyle |z|=\sqrt{a^2+b^2} \)

Exemplu rezolvat

Fie \( \displaystyle z=3-4i \)

\( \displaystyle \overline{z}=3+4i \)

\( \displaystyle |z|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5 \)

\( \displaystyle z\overline{z}=25 \)

Explicație simplă: conjugatul schimbă doar semnul la partea imaginară, iar modulul se calculează exact ca „lungimea” unui vector \( \displaystyle (a,b) \)

Exerciții

Răspuns: \( \displaystyle 5-4i \)

Răspuns: \( \displaystyle 5+5i \)

Răspuns: \( \displaystyle \overline{z}=-7-3i \)

Răspuns: \( \displaystyle |z|=10 \)

Răspuns: \( \displaystyle 10 \)