Convexitate, puncte de inflexiune și asimptote

Ideea simplă: derivata a doua spune „cum se curbează” graficul

Convexă / concavă

Dacă \( \displaystyle f''(x)>0 \) pe un interval ⇒ grafic convex acolo
Dacă \( \displaystyle f''(x)<0 \) pe un interval ⇒ grafic concav acolo

Punct de inflexiune

Un punct \( \displaystyle x_0 \) este punct de inflexiune dacă \( \displaystyle f'' \) își schimbă semnul la trecerea prin \( \displaystyle x_0 \)

Asimptote (definiții utile)

Orizontală \( \displaystyle y=b \) dacă \( \displaystyle \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=b \)

Verticală \( \displaystyle x=a \) dacă \( \displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x)=\pm\infty \) sau \( \displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x)=\pm\infty \)

Oblică \( \displaystyle y=ax+b \) dacă \( \displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0 \)

Exemplu rezolvat

Studiază convexitatea și asimptotele funcției \( \displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x} \), \( \displaystyle x\ne 0 \)

Asimptotă verticală: \( \displaystyle x=0 \) deoarece \( \displaystyle \frac{1}{x}\to\pm\infty \)

Asimptotă oblică: verificăm \( \displaystyle f(x)-x=\frac{1}{x}\to 0 \) la \( \displaystyle x\to\pm\infty \) ⇒ asimptota \( \displaystyle y=x \)

Convexitate: \( \displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{x^2} \), \( \displaystyle f''(x)=\frac{2}{x^3} \)

Pentru \( \displaystyle x>0 \), \( \displaystyle f''(x)>0 \) ⇒ convexă
Pentru \( \displaystyle x<0 \), \( \displaystyle f''(x)<0 \) ⇒ concavă

La \( \displaystyle x=0 \) nu e în domeniu, deci nu e punct de inflexiune al funcției (e întrerupere)

Exerciții

Răspuns: \( \displaystyle y=3 \)

Răspuns: \( \displaystyle x=4 \)

Răspuns: \( \displaystyle \) convexă pe \( \displaystyle \mathbb{R} \)

Răspuns: \( \displaystyle x=0 \)

Răspuns: \( \displaystyle y=x \)