Teorema lui Fermat și puncte critice

Ideea simplă: la un maxim sau minim local, graficul „se oprește din urcare/coborîre” și, de obicei, tangenta devine orizontală

Punct de extrem local:

Un punct \( \displaystyle x_0 \) este maxim local dacă pentru \( \displaystyle x \) suficient de aproape de \( \displaystyle x_0 \) avem \( \displaystyle f(x)\le f(x_0) \)
Similar, minim local dacă \( \displaystyle f(x)\ge f(x_0) \)

Teorema lui Fermat (condiție necesară)

Dacă \( \displaystyle f \) este derivabilă în \( \displaystyle x_0 \) și \( \displaystyle x_0 \) este punct de extrem local, atunci \( \displaystyle f'(x_0)=0 \)

Atenție: \( \displaystyle f'(x_0)=0 \) NU garantează extrem (poate fi punct de inflexiune)

Exemplu rezolvat

Studiază extremele funcției \( \displaystyle f(x)=x^3-3x \)

Pas 1 Derivata: \( \displaystyle f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1) \)

Pas 2 Puncte critice: \( \displaystyle f'(x)=0 \Rightarrow x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm 1 \)

Pas 3 Semnul lui \( \displaystyle f'(x) \):
pentru \( \displaystyle |x|>1 \), \( \displaystyle f'(x)>0 \) (crește)
pentru \( \displaystyle |x|<1 \), \( \displaystyle f'(x)<0 \) (scade)

Concluzie:
la \( \displaystyle x=-1 \) trece din creștere în scădere ⇒ maxim local
la \( \displaystyle x=1 \) trece din scădere în creștere ⇒ minim local

Valori: \( \displaystyle f(-1)=2 \), \( \displaystyle f(1)=-2 \)

Exerciții

Răspuns: \( \displaystyle 7 \)

Răspuns: \( \displaystyle x=2 \)

Răspuns: \( \displaystyle \) nu este extrem

Răspuns: \( \displaystyle x=-2 \) maxim local, \( \displaystyle x=0 \) minim local

Răspuns: \( \displaystyle \) poate fi (este punct critic)