Împărțirea în C și inversul unui număr complex

Împărțirea numerelor complexe (trucul cu conjugatul)

Ideea simplă

Ca să împarți \( \displaystyle \frac{z}{u} \), înmulțești sus și jos cu conjugatul lui \( \displaystyle u \) ca să scapi de \( \displaystyle i \) din numitor

Formulă

Dacă \( \displaystyle u=c+di\ne 0 \), atunci \( \displaystyle \overline{u}=c-di \) și

\( \displaystyle \frac{z}{u}=\frac{z\overline{u}}{u\overline{u}}=\frac{z\overline{u}}{c^2+d^2} \)

Exemplu rezolvat

Calculează \( \displaystyle \frac{3+2i}{1-i} \)

\( \displaystyle \overline{1-i}=1+i \)

\( \displaystyle \frac{3+2i}{1-i}=\frac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} \)

Numitor: \( \displaystyle (1-i)(1+i)=1-i^2=2 \)

Numărător: \( \displaystyle (3+2i)(1+i)=3+3i+2i+2i^2=3+5i-2=1+5i \)

Rezultat: \( \displaystyle \frac{3+2i}{1-i}=\frac{1+5i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i \)

Greșeală des întâlnită: să „împarți” separat părțile reale și imaginare. Nu e corect. Folosești conjugatul

Exerciții

1
Calculează \( \displaystyle \frac{1+i}{1-i} \)
2
Calculează inversul lui \( \displaystyle z=2-3i \)
3
Calculează \( \displaystyle \frac{4}{2+2i} \)
4
Calculează \( \displaystyle \frac{5-i}{2+i} \)
5
Spune dacă \( \displaystyle z=0 \) are invers în \( \displaystyle \mathbb{C} \)

Răspunsuri

Rezolvări

Înapoi Următor