Viteza instantanee fizică → limită
Ideea
Dacă \( \displaystyle s(t) \) este distanța (sau poziția) în funcție de timp, atunci viteza medie pe intervalul \( \displaystyle [t_0,t_0+\Delta t] \) este
\( \displaystyle v_{med}=\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t} \)
Viteza instantanee în \( \displaystyle t_0 \) este limita acestei viteze medii când \( \displaystyle \Delta t \to 0 \)
\( \displaystyle v(t_0)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t} \)
Aceasta e exact aceeași idee ca panta tangentei, doar că aici interpretarea e „viteză”
Exemplu rezolvat
Fie \( \displaystyle s(t)=t^2+1 \) (metri). Calculează \( \displaystyle v(3) \)
\( \displaystyle v(3)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{(3+\Delta t)^2+1-(3^2+1)}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{9+6\Delta t+\Delta t^2+1-10}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}(6+\Delta t)=6 \)
Deci viteza instantanee la \( \displaystyle t=3 \) este \( \displaystyle 6 \) m/s
Pentru \( \displaystyle s(t)=t^2 \), calculează \( \displaystyle v(2) \) prin limită
\( \displaystyle 4 \)
\( \displaystyle v(2)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{(2+\Delta t)^2-2^2}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{4+4\Delta t+\Delta t^2-4}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}(4+\Delta t)=4 \)
Pentru \( \displaystyle s(t)=3t \), calculează \( \displaystyle v(5) \) prin limită
\( \displaystyle 3 \)
\( \displaystyle v(5)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{3(5+\Delta t)-3\cdot 5}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{3\Delta t}{\Delta t}=3 \)
Pentru \( \displaystyle s(t)=t^2+2t \), calculează \( \displaystyle v(1) \) prin limită
\( \displaystyle 4 \)
\( \displaystyle v(1)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{(1+\Delta t)^2+2(1+\Delta t)-(1^2+2\cdot 1)}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{2\Delta t+\Delta t^2+2\Delta t}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}(4+\Delta t)=4 \)
Pentru \( \displaystyle s(t)=t^2-1 \), calculează \( \displaystyle v(0) \) prin limită
\( \displaystyle 0 \)
\( \displaystyle v(0)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{(\Delta t)^2-1-(-1)}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta t^2}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\Delta t=0 \)
Pentru \( \displaystyle s(t)=2t^2 \), calculează \( \displaystyle v(3) \) prin limită
\( \displaystyle 12 \)
\( \displaystyle v(3)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{2(3+\Delta t)^2-2\cdot 3^2}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{2(9+6\Delta t+\Delta t^2)-18}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}(12+2\Delta t)=12 \)