Drepte și plane perpendiculare
Ideea de bază: o dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă „intră în plan drept”, adică este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan
Definiții (clar, pe scurt)
Două drepte în spațiu sînt perpendiculare dacă unghiul dintre ele are \( \displaystyle 90^\circ \)
O dreaptă \( \displaystyle d \) este perpendiculară pe planul \( \displaystyle \alpha \) dacă \( \displaystyle d \) este perpendiculară pe orice dreaptă din planul \( \displaystyle \alpha \)
O dreaptă care nu e nici perpendiculară, nici paralelă cu planul se numește oblică pe acel plan
Criteriul practic cel mai folosit
Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte concurente (se intersectează) aflate în planul \( \displaystyle \alpha \),
atunci dreapta este perpendiculară pe planul \( \displaystyle \alpha \)
Scriere: \( \displaystyle (a\subset \alpha,\ b\subset \alpha,\ a\cap b\neq \varnothing,\ d\perp a,\ d\perp b)\Rightarrow d\perp \alpha \)
Două proprietăți rapide (super utile)
Dacă \( \displaystyle d\perp \alpha \) și \( \displaystyle d_1\parallel d \), atunci \( \displaystyle d_1\perp \alpha \)
Dacă \( \displaystyle d\perp \alpha \) și \( \displaystyle d_1\perp \alpha \), atunci \( \displaystyle d\parallel d_1 \)
Exemplu rezolvat (tip cub / prismă)
În cubul \( \displaystyle ABCD A_1B_1C_1D_1 \), arată că \( \displaystyle AA_1 \perp (ABCD) \)
În planul \( \displaystyle (ABCD) \), dreptele \( \displaystyle AB \) și \( \displaystyle AD \) sînt concurente în \( \displaystyle A \)
Muchia \( \displaystyle AA_1 \) este perpendiculară pe \( \displaystyle AB \) și pe \( \displaystyle AD \) (muchie verticală pe baza pătrată)
Fiind perpendiculară pe două drepte concurente din plan, rezultă \( \displaystyle AA_1 \perp (ABCD) \)
Exerciții
1
Arată că \( \displaystyle d\perp \alpha \) dacă \( \displaystyle d\perp a \) și \( \displaystyle d\perp b \), unde \( \displaystyle a\subset \alpha,\ b\subset \alpha \) și \( \displaystyle a\cap b\neq\varnothing \)
2
Într-un cub \( \displaystyle ABCD A_1B_1C_1D_1 \), stabilește dacă \( \displaystyle AB \perp AA_1 \)
3
Fie \( \displaystyle d\perp \alpha \) și \( \displaystyle d_1\parallel d \). Arată că \( \displaystyle d_1\perp \alpha \)
4
Fie \( \displaystyle d\perp \alpha \) și \( \displaystyle d_1\perp \alpha \). Arată că \( \displaystyle d\parallel d_1 \)
5
Dreapta \( \displaystyle d \) intersectează planul \( \displaystyle \alpha \) în \( \displaystyle A \). În planul \( \displaystyle \alpha \) alegi două drepte concurente prin \( \displaystyle A \), \( \displaystyle a \) și \( \displaystyle b \). Dacă \( \displaystyle d\perp a \) dar \( \displaystyle d \) nu e perpendiculară pe \( \displaystyle b \), concluzionează poziția lui \( \displaystyle d \) față de \( \displaystyle \alpha \)