Criterii de continuitate

Două moduri echivalente de a spune că funcția “nu se rupe” în \( \displaystyle x_0 \)

Criteriul \( \displaystyle \varepsilon\text{-}\delta \)

\( \displaystyle f \) este continuă în \( \displaystyle x_0 \) dacă pentru orice \( \displaystyle \varepsilon>0 \) există \( \displaystyle \delta>0 \) astfel încât din \( \displaystyle |x-x_0|<\delta \) rezultă \( \displaystyle |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon \)

Pe scurt: dacă \( \displaystyle x \) e suficient de aproape de \( \displaystyle x_0 \), atunci și \( \displaystyle f(x) \) e suficient de aproape de \( \displaystyle f(x_0) \)

Criteriul prin șiruri

\( \displaystyle f \) este continuă în \( \displaystyle x_0 \) dacă pentru orice șir \( \displaystyle x_n\to x_0 \) rezultă \( \displaystyle f(x_n)\to f(x_0) \)

Exemplu rezolvat

Problemă Demonstrează cu \( \displaystyle \varepsilon\text{-}\delta \) că \( \displaystyle f(x)=2x \) este continuă în \( \displaystyle x_0=3 \)

Avem \( \displaystyle |f(x)-f(3)|=|2x-6|=2|x-3| \)

Alegem \( \displaystyle \delta=\frac{\varepsilon}{2} \)

Dacă \( \displaystyle |x-3|<\delta \), atunci \( \displaystyle |f(x)-f(3)|=2|x-3|<2\cdot\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \)

Deci funcția este continuă în \( \displaystyle x_0=3 \)

Exerciții

Arată cu \( \displaystyle \varepsilon\text{-}\delta \) că \( \displaystyle f(x)=x+4 \) este continuă în \( \displaystyle x_0=0 \)

Folosește criteriul prin șiruri pentru \( \displaystyle f(x)=x^2 \) în \( \displaystyle x_0=2 \)

Alege un \( \displaystyle \delta \) pentru \( \displaystyle f(x)=5x-1 \) la \( \displaystyle x_0=1 \)

Verifică prin șiruri dacă \( \displaystyle f(x)=\begin{cases}0,&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases} \) e continuă în \( \displaystyle 0 \)

Găsește un șir care arată discontinuitatea lui \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \) în \( \displaystyle 0 \)

Răspunsuri

\( \displaystyle \delta=\varepsilon \)

\( \displaystyle \text{Continuă} \)

\( \displaystyle \delta=\frac{\varepsilon}{5} \)

\( \displaystyle \text{Nu} \)

\( \displaystyle x_n=\frac{1}{n} \)

Rezolvări

\( \displaystyle |f(x)-f(0)|=|x+4-4|=|x| \)
Alegem \( \displaystyle \delta=\varepsilon \)
Dacă \( \displaystyle |x-0|<\delta \) atunci \( \displaystyle |f(x)-f(0)|<\varepsilon \)

Luăm orice \( \displaystyle x_n\to 2 \)
Atunci \( \displaystyle f(x_n)=x_n^2\to 2^2=4 \)
Dar \( \displaystyle f(2)=4 \) deci \( \displaystyle f(x_n)\to f(2) \)

\( \displaystyle |f(x)-f(1)|=|5x-1-4|=5|x-1| \)
Punem \( \displaystyle 5|x-1|<\varepsilon \Rightarrow |x-1|<\frac{\varepsilon}{5} \)
Deci \( \displaystyle \delta=\frac{\varepsilon}{5} \)

Luăm \( \displaystyle x_n=\frac{1}{n}\to 0 \)
Atunci \( \displaystyle f(x_n)=0 \to 0 \)
Dar \( \displaystyle f(0)=1 \)
Deci \( \displaystyle f(x_n)\not\to f(0) \)

\( \displaystyle x_n=\frac{1}{n}\to 0 \)
\( \displaystyle f(x_n)=n\to +\infty \)
Funcția nici nu e definită în \( \displaystyle 0 \), iar valorile “explodează”

Cuprins

Explicație
Exerciții