Reprezentarea grafică a funcțiilor

Reprezentarea grafică a funcțiilor – pașii de lucru

Ideea simplă

Ca să desenezi corect graficul unei funcții, nu „ghicești forma”, ci îl construiești din proprietăți sigure: domeniu, simetrii, zerouri, variație, convexitate, asimptote și puncte speciale

Pașii (schemă de lucru)

I Determini domeniul de definiție \( \displaystyle D_f \)

II Verifici simetria (paritate): funcție pară/impară, dacă se poate

III Găsești punctele de intersecție cu axele (zerouri și \( \displaystyle f(0)\) dacă există)

În practică (de obicei urmează) semnul funcției, limitele la capetele domeniului, asimptote, derivata \( \displaystyle f'(x)\) pentru creștere/descriere și extreme, derivata a doua \( \displaystyle f''(x)\) pentru convexitate/inflexiune, apoi „unirea” informațiilor într-un desen curat

Schiță (ce urmărești să obții)

Nu e un grafic al unei funcții anume, e doar o imagine ca să vezi „ținta” finală: axele + forma stabilită din proprietăți

Exemplu scurt (doar primele 3 etape)

Fie \( \displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x+1}\)

I \( \displaystyle D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\)

II Nu e nici pară, nici impară (domeniul nu e simetric și expresia nu respectă condițiile)

III Zerou: \( \displaystyle x-2=0 \Rightarrow x=2\) deci intersecție cu Ox: \( \displaystyle (2,0)\)

Intersecția cu Oy: \( \displaystyle f(0)=\frac{-2}{1}=-2\) deci punctul \( \displaystyle (0,-2)\)

Exemplu complet de trasare a graficului

Funcția

Luăm \( \displaystyle f(x)=\frac{x}{x-1} \)

1) Domeniu

\( \displaystyle D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\} \)

2) Intersecții cu axele

Cu Ox: \( \displaystyle f(x)=0 \Rightarrow x=0 \) deci punctul \( \displaystyle (0,0)\)

Cu Oy: \( \displaystyle f(0)=0 \) deci tot \( \displaystyle (0,0)\)

3) Asimptote

Asimptotă verticală: \( \displaystyle x=1 \) (pentru că numitorul tinde la 0)

Asimptotă orizontală: împărțim la \( \displaystyle x \)

\( \displaystyle \frac{x}{x-1}=\frac{1}{1-\frac{1}{x}}\to 1 \) când \( \displaystyle x\to\pm\infty \)

Deci asimptotă orizontală \( \displaystyle y=1 \)

4) Monotonie

\( \displaystyle f(x)=\frac{x}{x-1} \Rightarrow f'(x)=\frac{(x-1)\cdot 1-x\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{-1}{(x-1)^2} \)

\( \displaystyle f'(x)<0 \) pentru orice \( \displaystyle x\ne 1 \) deci funcția e strict descrescătoare pe \( \displaystyle (-\infty,1)\) și pe \( \displaystyle (1,\infty)\)

Interpretare simplă: graficul are două ramuri separate de asimptota verticală \( \displaystyle x=1 \), iar în depărtare se apropie de linia \( \displaystyle y=1 \)

Exerciții

Determină domeniul funcției \( \displaystyle f(x)=\sqrt{x-3} \)

Determină domeniul funcției \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2-9} \)

Găsește intersecția cu Ox pentru \( \displaystyle f(x)=x^2-5x \)

Calculează \( \displaystyle f(0) \) pentru \( \displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x-4} \)

Verifică dacă \( \displaystyle f(x)=x^3 \) este impară

Trasează rapid graficul lui \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \) indicând asimptotele

Determină asimptota orizontală pentru \( \displaystyle f(x)=\frac{2x-1}{x+3} \)

Găsește intervalele de monotonie pentru \( \displaystyle f(x)=x^2-4x \)

Determină extremele lui \( \displaystyle f(x)=x^3-3x \)

Spune dacă \( \displaystyle f(x)=\ln x \) are intersecție cu Oy

Răspunsuri

\( \displaystyle D_f=[3,\infty) \)

\( \displaystyle D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3,3\} \)

\( \displaystyle x\in\{0,5\} \)

\( \displaystyle f(0)=-\frac{1}{4} \)

\( \displaystyle f \text{ este impară} \)

Asimptote \( \displaystyle x=0 \) și \( \displaystyle y=0 \)

\( \displaystyle y=2 \)

\( \displaystyle \text{descrescătoare pe }(-\infty,2)\text{ și crescătoare pe }(2,\infty) \)

Maxim local la \( \displaystyle x=-1 \) minim local la \( \displaystyle x=1 \)

Nu are

Rezolvări

Avem condiția \( \displaystyle x-3\ge 0 \Rightarrow x\ge 3 \) deci \( \displaystyle D_f=[3,\infty) \)

Numitorul nu poate fi zero \( \displaystyle x^2-9\ne 0 \Rightarrow x\ne \pm 3 \) deci domeniul exclude \( \displaystyle -3 \) și \( \displaystyle 3 \)

Zerouri din \( \displaystyle x^2-5x=0 \Rightarrow x(x-5)=0 \Rightarrow x=0 \) sau \( \displaystyle x=5 \)

Înlocuim \( \displaystyle x=0 \Rightarrow f(0)=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4} \)

Calculăm \( \displaystyle f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x) \) deci funcția este impară

Domeniul \( \displaystyle \mathbb{R}\setminus\{0\} \) dă asimptotă verticală \( \displaystyle x=0 \) iar \( \displaystyle \frac{1}{x}\to 0 \) la infinit deci asimptotă orizontală \( \displaystyle y=0 \)

La \( \displaystyle x\to\pm\infty \) raportul coeficienților lui \( \displaystyle x \) este \( \displaystyle \frac{2}{1}=2 \) deci \( \displaystyle y=2 \)

Derivata \( \displaystyle f'(x)=2x-4 \) se anulează la \( \displaystyle x=2 \) iar semnul trece din „–” în „+” deci minim la 2 și intervalele cerute

\( \displaystyle f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1) \) semnul este \( \displaystyle + \) pe \( \displaystyle (-\infty,-1) \), \( \displaystyle - \) pe \( \displaystyle (-1,1) \), \( \displaystyle + \) pe \( \displaystyle (1,\infty) \) deci maxim la \( \displaystyle -1 \) și minim la \( \displaystyle 1 \)

Pentru intersecție cu Oy trebuie să existe \( \displaystyle f(0) \) dar \( \displaystyle \ln 0 \) nu este definit deci nu există punct cu \( \displaystyle x=0 \) pe grafic

Cuprins

Explicație
Exerciții