Suma primilor \( \displaystyle n\) termeni ai progresiei geometrice
Formule
Dacă \( \displaystyle S_n=b_1+b_2+\dots+b_n\) și \( \displaystyle q\ne 1\), atunci
\( \displaystyle S_n=b_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}\)
Dacă \( \displaystyle q=1\), atunci \( \displaystyle b_1=b_2=\dots=b_n\) și \( \displaystyle S_n=nb_1\)
Explicație simplă (ideea de calcul)
Scrii \( \displaystyle S_n=b_1+b_1q+b_1q^2+\dots+b_1q^{n-1}\)
Înmulțești cu \( \displaystyle q\) și scazi ca să se reducă termenii, rămân doar primul și ultimul
Exemplu rezolvat (practic)
Problemă
Calculează \( \displaystyle S_6\) pentru PG cu \( \displaystyle b_1=2\) și \( \displaystyle q=3\)
Aplicăm formula pentru \( \displaystyle q\ne 1\)
\( \displaystyle S_6=2\cdot \frac{3^6-1}{3-1}=2\cdot \frac{729-1}{2}=2\cdot \frac{728}{2}=728\)
Exerciții
1
Într-o PG \( \displaystyle b_1=5\), \( \displaystyle q=2\) calculează \( \displaystyle S_8\)
Răspuns: \( \displaystyle S_8=1275\)
2
Calculează \( \displaystyle S_5\) pentru PG \( \displaystyle 81,27,9,3,1\)
Răspuns: \( \displaystyle S_5=121\)
3
Găsește \( \displaystyle q\) dacă într-o PG \( \displaystyle b_1=3\) și \( \displaystyle S_2=15\)
Răspuns: \( \displaystyle q=4\)
4
Într-o PG cu \( \displaystyle q=1\) și \( \displaystyle b_1=7\) calculează \( \displaystyle S_{30}\)
Răspuns: \( \displaystyle S_{30}=210\)
5
Într-o PG \( \displaystyle b_1=2\), \( \displaystyle q=\frac12\) calculează \( \displaystyle S_6\)
Răspuns: \( \displaystyle S_6=\frac{63}{16}\)
Răspunsuri
1
\( \displaystyle S_8=1275\)
2
\( \displaystyle S_5=121\)
4
\( \displaystyle S_{30}=210\)
5
\( \displaystyle S_6=\frac{63}{16}\)
Rezolvări
1
\( \displaystyle S_8=5\cdot \frac{2^8-1}{2-1}=5(256-1)=5\cdot 255=1275\)
2
Este PG cu \( \displaystyle b_1=81\), \( \displaystyle q=\frac13\). Atunci \( \displaystyle S_5=81\cdot \frac{(\frac13)^5-1}{\frac13-1}=81\cdot \frac{\frac{1}{243}-1}{-\frac{2}{3}}=81\cdot \frac{-\frac{242}{243}}{-\frac{2}{3}}=81\cdot \frac{242}{243}\cdot \frac{3}{2}=121
3
\( \displaystyle S_2=b_1+b_2=3+3q=15\). Deci \( \displaystyle 3q=12\), rezultă \( \displaystyle q=4\)
4
Când \( \displaystyle q=1\), toți termenii sunt 7, deci \( \displaystyle S_{30}=30\cdot 7=210\)
5
\( \displaystyle S_6=2\cdot \frac{(\frac12)^6-1}{\frac12-1}=2\cdot \frac{\frac{1}{64}-1}{-\frac12}=2\cdot \frac{-\frac{63}{64}}{-\frac12}=2\cdot \frac{63}{64}\cdot 2=\frac{252}{64}=\frac{63}{16}