Noțiunea de progresie aritmetică

Definiție (formal)

Un șir \( \displaystyle (a_n)_{n\ge 1}\) este progresie aritmetică dacă există \( \displaystyle r\in\mathbb{R}\) astfel încât

\( \displaystyle a_{n+1}=a_n+r\) pentru orice \( \displaystyle n\ge 1\)

\( \displaystyle r\) se numește rația progresiei aritmetice

Explicație simplă

Într-o progresie aritmetică adaugi mereu același număr

Ex.: dacă adaugi 2 de fiecare dată: \( \displaystyle 1,3,5,7,\dots\)

Observații utile

Dacă \( \displaystyle r>0\), progresia este strict crescătoare

Dacă \( \displaystyle r<0\), progresia este strict descrescătoare

Dacă \( \displaystyle r=0\), progresia este constantă

Exemplu rezolvat (practic)

Problemă

Se dă progresia aritmetică cu \( \displaystyle a_1=7\) și \( \displaystyle r=-3\)

a) Scrie primii 5 termeni

b) Calculează \( \displaystyle a_8\)

a) Adăugăm \( \displaystyle -3\) de fiecare dată: \( \displaystyle 7,4,1,-2,-5\)

b) De la \( \displaystyle a_1\) la \( \displaystyle a_8\) sunt 7 pași, deci scădem \( \displaystyle 7\cdot 3=21\)

\( \displaystyle a_8=7-21=-14\)

Exerciții

Verifică dacă \( \displaystyle 5,9,13,17\) este progresie aritmetică și găsește rația \( \displaystyle r\)

Într-o progresie aritmetică \( \displaystyle a_1=2\), \( \displaystyle r=5\) calculează \( \displaystyle a_4\)

Găsește \( \displaystyle a_1\) dacă \( \displaystyle a_3=10\) și \( \displaystyle r=2\)

Completează progresia aritmetică \( \displaystyle 12,\_,\_,3\) cu termeni consecutivi

Dacă \( \displaystyle r<0\), cum este progresia aritmetică

Răspunsuri

Rezolvări

Diferențele consecutive sunt \( \displaystyle 9-5=4\), \( \displaystyle 13-9=4\), \( \displaystyle 17-13=4\). Diferența constantă arată că este progresie aritmetică și \( \displaystyle r=4\)

Construiești termenii: \( \displaystyle 2,7,12,17\) sau folosești ideea că de 3 ori adaugi 5: \( \displaystyle a_4=2+3\cdot 5=17\)

De la \( \displaystyle a_1\) la \( \displaystyle a_3\) sunt 2 pași: \( \displaystyle a_3=a_1+2r\). Deci \( \displaystyle 10=a_1+4\), rezultă \( \displaystyle a_1=6\)

Între primul și ultimul sunt 3 pași egali. Diferența totală este \( \displaystyle 3-12=-9\). Un pas este \( \displaystyle -9/3=-3\). Deci \( \displaystyle 12,9,6,3\)

Fiecare termen se obține prin adăugarea unui număr negativ, deci valoarea scade la fiecare pas

Cuprins

Explicație
Exerciții