Monotonia și punctele de extrem cu derivata întîi
Ideea simplă : semnul lui \( \displaystyle f'(x) \) îți spune dacă funcția urcă sau coboară
Algoritm (pe scurt) : domeniu → derivată → rezolvi \( \displaystyle f'(x)=0 \) → tabel de semn pentru \( \displaystyle f'(x) \) → intervale de monotonie → extreme locale
Exemplu rezolvat
Studiază monotonia și extremele pentru \( \displaystyle f(x)=x^3+6x^2+9x \)
\( \displaystyle f'(x)=3x^2+12x+9=3(x^2+4x+3)=3(x+1)(x+3) \)
Puncte critice: \( \displaystyle x=-3 \), \( \displaystyle x=-1 \)
Semn: \( \displaystyle f'(x)>0 \) pe \( \displaystyle (-\infty,-3) \) și \( \displaystyle (-1,\infty) \), iar \( \displaystyle f'(x)<0 \) pe \( \displaystyle (-3,-1) \)
Concluzie: crește pe \( \displaystyle (-\infty,-3) \), scade pe \( \displaystyle (-3,-1) \), crește pe \( \displaystyle (-1,\infty) \)
Maxim local la \( \displaystyle x=-3 \), minim local la \( \displaystyle x=-1 \)
Exerciții
1
Studiază monotonia funcției \( \displaystyle f(x)=x^2-2x \)
Răspuns: \( \displaystyle \) descrescătoare pe \( \displaystyle (-\infty,1) \), crescătoare pe \( \displaystyle (1,\infty) \)
2
Găsește extremele locale pentru \( \displaystyle f(x)=x^4-2x^2 \)
Răspuns: \( \displaystyle \) minim la \( \displaystyle x=0 \), maxime la \( \displaystyle x=\pm 1 \)
3
Determină intervalele de monotonie pentru \( \displaystyle f(x)=\ln x - x \) pe \( \displaystyle (0,\infty) \)
Răspuns: \( \displaystyle \) crescătoare pe \( \displaystyle (0,1) \), descrescătoare pe \( \displaystyle (1,\infty) \)
4
Arată că \( \displaystyle f(x)=x^3+x \) nu are extreme locale
Răspuns: \( \displaystyle \) nu are
5
Găsește punctele de extrem pentru \( \displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1} \)
Răspuns: \( \displaystyle x=\pm 1 \)
Răspunsuri
1
\( \displaystyle \) descrescătoare pe \( \displaystyle (-\infty,1) \), crescătoare pe \( \displaystyle (1,\infty) \)
2
\( \displaystyle \) minim la \( \displaystyle x=0 \), maxime la \( \displaystyle x=\pm 1 \)
3
\( \displaystyle \) crescătoare pe \( \displaystyle (0,1) \), descrescătoare pe \( \displaystyle (1,\infty) \)
4
\( \displaystyle \) nu are
5
\( \displaystyle x=\pm 1 \)
Rezolvări
1
Derivata \( \displaystyle f'(x)=2x-2=2(x-1) \)
2
Derivata \( \displaystyle f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1) \)
3
Derivata \( \displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x} \)Pentru \( \displaystyle x>1 \) derivata negativă
4
Derivata \( \displaystyle f'(x)=3x^2+1>0 \) pentru orice \( \displaystyle x \)
5
Derivata: \( \displaystyle f'(x)=\frac{(x^2+1)-x(2x)}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \)