Proprietatea progresiei aritmetice: media aritmetică
Teoremă (ideea principală)
Într-o progresie aritmetică, orice termen (începând cu al doilea) este media aritmetică a vecinilor
\( \displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\) pentru \( \displaystyle n\ge 2\)
Echivalent: \( \displaystyle 2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}\)
Explicație simplă
Într-o progresie aritmetică, distanța de la \( \displaystyle a_{n-1}\) la \( \displaystyle a_n\) e aceeași ca de la \( \displaystyle a_n\) la \( \displaystyle a_{n+1}\)
De aceea \( \displaystyle a_n\) stă „la mijloc” între vecini, adică e media lor
Reciproca (cum recunoști o progresie)
Dacă un șir satisface \( \displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\) pentru orice \( \displaystyle n\ge 2\), atunci șirul este progresie aritmetică
Exemplu rezolvat (practic)
Problemă
Într-o progresie aritmetică se știe că \( \displaystyle a_4=11\) și \( \displaystyle a_6=19\)
Determină \( \displaystyle a_5\)
Aplicăm proprietatea: \( \displaystyle a_5=\frac{a_4+a_6}{2}\)
\( \displaystyle a_5=\frac{11+19}{2}=\frac{30}{2}=15\)
Exerciții
1
Într-o progresie aritmetică \( \displaystyle a_3=8\) și \( \displaystyle a_5=18\) calculează \( \displaystyle a_4\)
Răspuns: \( \displaystyle a_4=13\)
2
Verifică dacă numerele \( \displaystyle 6,10,14\) pot fi trei termeni consecutivi ai unei PA
Răspuns: \( \displaystyle \) da
3
Găsește \( \displaystyle x\) astfel încât \( \displaystyle 3,x,11\) să fie termeni consecutivi ai unei PA
Răspuns: \( \displaystyle x=7\)
4
Dacă \( \displaystyle a_{n-1}=2\) și \( \displaystyle a_n=5\) într-o PA, calculează \( \displaystyle a_{n+1}\)
Răspuns: \( \displaystyle a_{n+1}=8\)
5
Un șir satisface \( \displaystyle 2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}\) pentru orice \( \displaystyle n\ge 2\). Ce fel de șir este
Răspuns: \( \displaystyle \) progresie aritmetică
Răspunsuri
1
\( \displaystyle a_4=13\)
4
\( \displaystyle a_{n+1}=8\)
5
\( \displaystyle \) progresie aritmetică
Rezolvări
1
În PA \( \displaystyle a_4=\frac{a_3+a_5}{2}=\frac{8+18}{2}=13\)
2
Verifici condiția de medie: \( \displaystyle 10=\frac{6+14}{2}=10\). Condiția este adevărată, deci sunt termeni consecutivi ai unei PA
3
Condiția este \( \displaystyle x=\frac{3+11}{2}=7\)
4
În PA diferența e constantă: \( \displaystyle r=a_n-a_{n-1}=3\). Atunci \( \displaystyle a_{n+1}=a_n+r=5+3=8\)
5
Relația este exact proprietatea (și reciproca) pentru progresie aritmetică, deci șirul este o PA