Punct • dreaptă • plan, apoi regulile de bază cu care lucrezi în tot modulul
Axiome (ideea esențială)
S1 Pentru orice plan există puncte care aparțin planului și puncte care nu aparțin planului S2 Trei puncte necoliniare determină un plan și numai unul S3 Dacă două plane distincte au un punct comun, atunci intersecția lor este o dreaptă
Notații utile
Planul se notează \( \displaystyle \alpha,\beta,\gamma \)
Planul determinat de \( \displaystyle A,B,C \) necoliniare se notează \( \displaystyle (ABC) \)
Planul determinat de o dreaptă \( \displaystyle d \) și un punct \( \displaystyle A\notin d \) se notează \( \displaystyle (A,d) \)
Ține minte: pentru a demonstra că o dreaptă este în plan, îți ajunge să arăți că două puncte ale ei sunt în plan
Teoreme pe care le folosești mereu
Dacă două puncte distincte ale unei drepte aparțin unui plan, atunci dreapta este în plan
O dreaptă și un punct din afara ei determină un plan unic
Două drepte concurente determină un plan unic
Acestea sunt „uneltele” de construcție: cum formezi planuri și cum recunoști apartenența
Schiță rapidă
Dacă \( \displaystyle A,B\in \alpha \) atunci \( \displaystyle AB\subset \alpha \)
Exemplu rezolvat
Fie \( \displaystyle \alpha=(ABC) \) și \( \displaystyle \beta=(ABD) \), unde \( \displaystyle D\notin \alpha \)
Arată că \( \displaystyle \alpha\cap\beta=AB \)
Punctele \( \displaystyle A \) și \( \displaystyle B \) aparțin planului \( \displaystyle \alpha \) și aparțin și planului \( \displaystyle \beta \)
Deci planele \( \displaystyle \alpha \) și \( \displaystyle \beta \) au două puncte comune \( \displaystyle A,B \)
Cum \( \displaystyle D\in \beta \) și \( \displaystyle D\notin \alpha \), planele sunt distincte
Prin \( \displaystyle S3 \), intersecția a două plane distincte este o dreaptă, iar această dreaptă trece prin \( \displaystyle A \) și \( \displaystyle B \)
Rezultă \( \displaystyle \alpha\cap\beta=AB \)
Exerciții
1
Precizează planul determinat de punctele necoliniare \( \displaystyle A,B,C \)
Răspuns: \( \displaystyle (ABC) \)
2
Dacă \( \displaystyle A,B\in d \) și \( \displaystyle A,B\in \alpha \), arată că \( \displaystyle d\subset \alpha \)
Răspuns: \( \displaystyle d\subset \alpha \)
3
Câte plane determină o dreaptă \( \displaystyle d \) și un punct \( \displaystyle P\notin d \)
Răspuns: Un singur plan
4
Dacă planele distincte \( \displaystyle \alpha \) și \( \displaystyle \beta \) au un punct comun \( \displaystyle M \), ce este \( \displaystyle \alpha\cap\beta \)
Răspuns: O dreaptă
5
Câte plane trec printr-o dreaptă \( \displaystyle d \)
Răspuns: O infinitate de plane
Răspunsuri
1
\( \displaystyle (ABC) \)
2
\( \displaystyle d\subset \alpha \)
3
Un singur plan
4
O dreaptă
5
O infinitate de plane
Rezolvări
1
Prin axioma \( \displaystyle S2 \), trei puncte necoliniare determină un plan și numai unul, notat \( \displaystyle (ABC) \)
2
Dreapta are două puncte distincte \( \displaystyle A \) și \( \displaystyle B \) aflate în plan, deci prin teorema de apartenență rezultă că toată dreapta este în plan
3
O dreaptă și un punct din afara ei determină un plan unic, se notează \( \displaystyle (P,d) \)
4
Prin axioma \( \displaystyle S3 \), două plane distincte care au un punct comun se intersectează după o dreaptă
5
Prin dreapta \( \displaystyle d \) poți alege oricâte puncte \( \displaystyle P\notin d \), iar fiecare punct cu \( \displaystyle d \) determină un plan diferit \( \displaystyle (P,d) \)