Sisteme trapezice și soluția generală cu parametri

Când apare: după Gauss rămân mai puține ecuații decât necunoscute

Atunci alegem unele necunoscute ca parametri (libere), iar restul le exprimăm în funcție de ei

Pași practici

1) Identifici necunoscutele principale (în coloanele cu “lideri”)

2) Alegi necunoscutele secundare ca parametri

3) Exprimă principalele în funcție de parametri

Exemplu rezolvat

Rezolvă \( \displaystyle \begin{cases} x+y+z=2\\ 2x+2y+2z=4 \end{cases} \)

A doua ecuație e dependentă, rămâne \( \displaystyle x+y+z=2 \)

Alegem \( \displaystyle y=s,\; z=t \Rightarrow x=2-s-t \)

Soluția generală: \( \displaystyle (x,y,z)=(2-s-t,\; s,\; t) \)

Exerciții

Rezolvă \( \displaystyle \begin{cases} x+y+z=0\\ x-y+z=2 \end{cases} \)

Rezolvă \( \displaystyle \begin{cases} x+2y=5 \end{cases} \)

Rezolvă \( \displaystyle \begin{cases} 2x-y+3z=4\\ x+z=1 \end{cases} \)

Rezolvă \( \displaystyle \begin{cases} x+y+z=3\\ x+y+z=3 \end{cases} \)

Rezolvă \( \displaystyle \begin{cases} x-2y+z=1\\ 2x-4y+2z=2 \end{cases} \)

Răspunsuri

\( \displaystyle (x,y,z)=(1,\,-1,\,t) \)

\( \displaystyle (x,y)=(5-2t,\; t) \)

\( \displaystyle (x,y,z)=(1-t,\; -2+5t,\; t) \)

\( \displaystyle (x,y,z)=(3-s-t,\; s,\; t) \)

\( \displaystyle (x,y,z)=(1+2t-s,\; t,\; s) \)

Rezolvări

Scădem ecuațiile: \( \displaystyle 2y=-2\Rightarrow y=-1 \), apoi \( \displaystyle x-1+z=0\Rightarrow x=1-z \), punem \( \displaystyle z=t \Rightarrow x=1-t \)

O ecuație, două necunoscute: alegem \( \displaystyle y=t \Rightarrow x=5-2t \)

Din a doua \( \displaystyle x=1-z \), punem \( \displaystyle z=t \Rightarrow x=1-t \), în prima: \( \displaystyle 2(1-t)-y+3t=4 \Rightarrow 2+t-y=4 \Rightarrow y=t-2 \) apoi verificare: \( \displaystyle y=t-2 \)

Ecuațiile sunt identice, rămâne una: alegem \( \displaystyle y=s,\; z=t \Rightarrow x=3-s-t \)

A doua e \( \displaystyle 2\cdot \) prima, deci rămâne \( \displaystyle x-2y+z=1 \), luăm \( \displaystyle y=t,\; z=s \Rightarrow x=1+2t-s \)

Cuprins

Explicație
Exerciții