Planul complex – modul, argument, forma trigonometrică
Reprezentare geometrică
Numărul \( \displaystyle z=x+iy \) se reprezintă prin punctul \( \displaystyle M(x,y) \) în plan
Modulul \( \displaystyle r=|z|=\sqrt{x^2+y^2} \) este distanța \( \displaystyle OM \)
Argumentul \( \displaystyle \varphi \) este un unghi astfel încât \( \displaystyle x=r\cos\varphi \), \( \displaystyle y=r\sin\varphi \)
M
\( \displaystyle \varphi \)
Re
Im
Axa orizontală este partea reală, axa verticală este partea imaginară
Forma trigonometrică
Este utilă mai ales la înmulțire, împărțire și puteri
Exemplu rezolvat
Scrie \( \displaystyle z=1+i \) în formă trigonometrică
\( \displaystyle r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \)
Un argument este \( \displaystyle \varphi=\frac{\pi}{4} \)
\( \displaystyle z=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right) \)
Explicație simplă: forma trigonometrică spune „cât de departe e punctul de origine” și „în ce direcție este”
Exerciții
1
Determină modulul pentru \( \displaystyle z=-3+4i \)
Răspuns: \( \displaystyle |z|=5 \)
2
Găsește un argument pentru \( \displaystyle z=0-2i \)
Răspuns: \( \displaystyle \varphi=-\frac{\pi}{2} \)
3
Scrie \( \displaystyle z=2 \) în formă trigonometrică
Răspuns: \( \displaystyle z=2(\cos 0+i\sin 0) \)
4
Scrie \( \displaystyle z=-1 \) în formă trigonometrică
Răspuns: \( \displaystyle z=1(\cos \pi+i\sin \pi) \)
5
Determină coordonatele lui \( \displaystyle z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi) \)
Răspuns: \( \displaystyle x=r\cos\varphi \) și \( \displaystyle y=r\sin\varphi \)
Răspunsuri
1
\( \displaystyle |z|=5 \)
2
\( \displaystyle \varphi=-\frac{\pi}{2} \)
3
\( \displaystyle z=2(\cos 0+i\sin 0) \)
4
\( \displaystyle z=1(\cos \pi+i\sin \pi) \)
5
\( \displaystyle x=r\cos\varphi \) și \( \displaystyle y=r\sin\varphi \)
Rezolvări
1
\( \displaystyle |z|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5 \)
2
Punctul este pe axa imaginară negativă, deci un argument este \( \displaystyle -\frac{\pi}{2} \) (și mai sunt \( \displaystyle -\frac{\pi}{2}+2\pi k \)
3
Este pe axa reală pozitivă, modul \( \displaystyle 2 \), argument \( \displaystyle 0 \) deci \( \displaystyle 2(\cos 0+i\sin 0) \)
4
Este pe axa reală negativă, modul \( \displaystyle 1 \), argument \( \displaystyle \pi \) deci \( \displaystyle \cos\pi+i\sin\pi=-1 \)
5
Comparăm \( \displaystyle z=x+iy \) cu \( \displaystyle r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=r\cos\varphi+i(r\sin\varphi) \) deci \( \displaystyle x=r\cos\varphi \), \( \displaystyle y=r\sin\varphi \)