Regula lui Cramer

Când o folosim: avem exact \( \displaystyle n \) ecuații și \( \displaystyle n \) necunoscute și \( \displaystyle \Delta=\det(A)\neq 0 \)

Atunci soluția este unică

Formula

Notăm \( \displaystyle \Delta=\det(A) \)

Pentru fiecare \( \displaystyle j \), construim \( \displaystyle \Delta_j \) înlocuind coloana \( \displaystyle j \) din \( \displaystyle A \) cu coloana termenilor liberi \( \displaystyle B \)

Apoi \( \displaystyle x_j=\frac{\Delta_j}{\Delta} \)

Exemplu rezolvat

Rezolvă prin Cramer \( \displaystyle \begin{cases} x+y=5\\ 2x-y=1 \end{cases} \)

\( \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\ 2&-1\end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}5\\ 1\end{pmatrix} \)

\( \displaystyle \Delta=\det(A)=1\cdot(-1)-1\cdot 2=-3 \)

\( \displaystyle \Delta_1=\begin{vmatrix}5&1\\ 1&-1\end{vmatrix}=-6 \Rightarrow x=\frac{-6}{-3}=2 \)

\( \displaystyle \Delta_2=\begin{vmatrix}1&5\\ 2&1\end{vmatrix}=-9 \Rightarrow y=\frac{-9}{-3}=3 \)

Atenție: dacă \( \displaystyle \Delta=0 \), regula lui Cramer nu decide (poate fi 0 soluții sau infinit)

Exerciții

Rezolvă prin Cramer \( \displaystyle \begin{cases} 3x+2y=7\\ x-y=1 \end{cases} \)

Rezolvă prin Cramer \( \displaystyle \begin{cases} x+2y=1\\ 2x+5y=4 \end{cases} \)

Rezolvă prin Cramer \( \displaystyle \begin{cases} x+y+z=6\\ x-y+z=2\\ 2x+y-z=3 \end{cases} \)

Spune dacă se poate aplica Cramer la \( \displaystyle \begin{cases} x+y=2\\ 2x+2y=4 \end{cases} \)

Determină \( \displaystyle k \) astfel încât sistemul \( \displaystyle \begin{cases} x+ky=1\\ 2x+2y=2 \end{cases} \) să aibă soluție unică prin Cramer

Răspunsuri

Rezolvări

\( \displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}3&2\\ 1&-1\end{vmatrix}=-5 \), \( \displaystyle \Delta_1=\begin{vmatrix}7&2\\ 1&-1\end{vmatrix}=-9 \Rightarrow x=\frac{-9}{-5}=\frac{9}{5} \) verificare rapidă în ecuația a doua dă \( \displaystyle \frac{9}{5}-y=1\Rightarrow y=\frac{4}{5} \) apoi în prima \( \displaystyle 3\cdot\frac{9}{5}+2\cdot\frac{4}{5}=\frac{35}{5}=7 \), deci \( \displaystyle x=\frac{9}{5}, y=\frac{4}{5} \)

\( \displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}1&2\\ 2&5\end{vmatrix}=1 \), \( \displaystyle \Delta_1=\begin{vmatrix}1&2\\ 4&5\end{vmatrix}=-3 \Rightarrow x=-3 \), \( \displaystyle \Delta_2=\begin{vmatrix}1&1\\ 2&4\end{vmatrix}=2 \Rightarrow y=2 \)

Construim \( \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1\end{pmatrix} \), \( \displaystyle B=\begin{pmatrix}6\\ 2\\ 3\end{pmatrix} \), se calculează \( \displaystyle \Delta\neq 0 \), apoi \( \displaystyle \Delta_1,\Delta_2,\Delta_3 \) și \( \displaystyle x=\Delta_1/\Delta,\; y=\Delta_2/\Delta,\; z=\Delta_3/\Delta \), obținând \( \displaystyle (2,1,3) \)

\( \displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}1&1\\ 2&2\end{vmatrix}=0 \Rightarrow \) Cramer nu se aplică

\( \displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}1&k\\ 2&2\end{vmatrix}=2-2k=2(1-k) \), soluție unică prin Cramer \(\displaystyle \Leftrightarrow \Delta\neq 0 \Rightarrow k\neq 1 \)

Cuprins

Explicație
Exerciții