Definiții

Derivata la stânga în \( \displaystyle x_0 \): \( \displaystyle f'_s(x_0)=\lim_{x\to x_0-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \)

Derivata la dreapta în \( \displaystyle x_0 \): \( \displaystyle f'_d(x_0)=\lim_{x\to x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \)

Funcția este derivabilă în \( \displaystyle x_0 \) dacă ambele derivate laterale există, sunt finite și sunt egale

Exemplu rezolvat (foarte important)

Fie \( \displaystyle f(x)=|x| \). Verifică derivabilitatea în \( \displaystyle x_0=0 \)

Pentru \( \displaystyle x<0 \), \( \displaystyle |x|=-x \Rightarrow \frac{|x|-|0|}{x-0}=\frac{-x}{x}=-1 \Rightarrow f'_s(0)=-1 \)

Pentru \( \displaystyle x>0 \), \( \displaystyle |x|=x \Rightarrow \frac{|x|-|0|}{x-0}=\frac{x}{x}=1 \Rightarrow f'_d(0)=1 \)

Cum \( \displaystyle f'_s(0)\neq f'_d(0) \), funcția nu este derivabilă în 0, iar punctul este un punct unghiular