Formula termenului general al progresiei aritmetice

Dacă \( \displaystyle (a_n)\) este progresie aritmetică cu primul termen \( \displaystyle a_1\) și rația \( \displaystyle r\), atunci

\( \displaystyle a_n=a_1+(n-1)r\)

De la \( \displaystyle a_1\) până la \( \displaystyle a_n\) faci \( \displaystyle n-1\) pași, iar la fiecare pas adaugi \( \displaystyle r\)

De aceea adaugi în total \( \displaystyle (n-1)r\)

Exemplu rezolvat (practic)

Într-o progresie aritmetică \( \displaystyle a_1=4\) și \( \displaystyle r=-2\)

Găsește \( \displaystyle a_n\) și calculează \( \displaystyle a_{15}\)

Aplicăm formula: \( \displaystyle a_n=a_1+(n-1)r=4+(n-1)(-2)=4-2n+2=6-2n\)

\( \displaystyle a_{15}=6-2\cdot 15=6-30=-24\)

Într-o PA \( \displaystyle a_1=10\), \( \displaystyle r=3\) găsește \( \displaystyle a_{20}\)

Într-o PA \( \displaystyle a_7=25\), \( \displaystyle r=2\) găsește \( \displaystyle a_1\)

Găsește \( \displaystyle r\) dacă într-o PA \( \displaystyle a_1=5\) și \( \displaystyle a_{11}=35\)

Determină \( \displaystyle n\) dacă într-o PA \( \displaystyle a_1=2\), \( \displaystyle r=4\) și \( \displaystyle a_n=46\)

În PA \( \displaystyle a_n=7+5(n-1)\) calculează \( \displaystyle a_1\) și \( \displaystyle r\)

\( \displaystyle a_{20}=a_1+(20-1)r=10+19\cdot 3=10+57=67\)

\( \displaystyle a_7=a_1+6r\). Deci \( \displaystyle 25=a_1+12\) și \( \displaystyle a_1=13\)

\( \displaystyle a_{11}=a_1+10r\). Deci \( \displaystyle 35=5+10r\), \( \displaystyle 10r=30\), \( \displaystyle r=3\)

\( \displaystyle 46=2+(n-1)\cdot 4\). Rezultă \( \displaystyle 44=4(n-1)\), deci \( \displaystyle n-1=11\) și \( \displaystyle n=12\)

Compari cu forma \( \displaystyle a_n=a_1+(n-1)r\). Se vede direct \( \displaystyle a_1=7\) și \( \displaystyle r=5\)