Teorema lui Weierstrass

Cea mai folosită: pe un interval închis, funcția continuă are minim și maxim

Enunț

Dacă \( \displaystyle f:[a,b]\to\mathbb{R} \) este continuă, atunci \( \displaystyle f \) este mărginită și își atinge marginile pe \( \displaystyle [a,b] \)

Există \( \displaystyle x_1,x_2\in[a,b] \) astfel încât \( \displaystyle f(x_1)=\inf_{x\in[a,b]} f(x) \) și \( \displaystyle f(x_2)=\sup_{x\in[a,b]} f(x) \)

Exemplu rezolvat

Problemă Pentru \( \displaystyle f(x)=x^2 \) pe \( \displaystyle [-2,1] \) găsește minimul și maximul

Funcția e continuă pe interval închis deci are minim și maxim

Verificăm punctele “importante”: capetele și punctul unde \( \displaystyle x^2 \) e minim, adică \( \displaystyle x=0 \)

\( \displaystyle f(-2)=4 \), \( \displaystyle f(0)=0 \), \( \displaystyle f(1)=1 \)

Minimul este \( \displaystyle 0 \) la \( \displaystyle x=0 \), maximul este \( \displaystyle 4 \) la \( \displaystyle x=-2 \)

Exerciții

Spune dacă teorema Weierstrass se aplică pentru \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \) pe \( \displaystyle [1,3] \)

Spune dacă teorema Weierstrass se aplică pentru \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \) pe \( \displaystyle (0,1] \)

Găsește minimul și maximul lui \( \displaystyle f(x)=x \) pe \( \displaystyle [-5,2] \)

Găsește minimul și maximul lui \( \displaystyle f(x)=x^2-2x \) pe \( \displaystyle [0,3] \)

Pentru \( \displaystyle f(x)=\sin x \) pe \( \displaystyle [0,\pi] \) dă minim și maxim

Răspunsuri

\( \displaystyle \text{Da} \)

\( \displaystyle \text{Nu} \)

\( \displaystyle \min=-5,\ \max=2 \)

\( \displaystyle \min=-1,\ \max=3 \)

\( \displaystyle \min=0,\ \max=1 \)

Rezolvări

Funcția e continuă pe \( \displaystyle [1,3] \)
Interval închis deci are minim și maxim

Intervalul nu este închis la \( \displaystyle 0 \)
Funcția devine nemărginită când \( \displaystyle x\to 0^+ \)

Funcția crește pe interval
Minimul la capătul stâng \( \displaystyle -5 \), maximul la capătul drept \( \displaystyle 2 \)

Rescriem \( \displaystyle x^2-2x=(x-1)^2-1 \)
Minimul este \( \displaystyle -1 \) la \( \displaystyle x=1 \)
La capete: \( \displaystyle f(0)=0 \), \( \displaystyle f(3)=3 \)
Maximul este \( \displaystyle 3 \)

Pe \( \displaystyle [0,\pi] \), \( \displaystyle \sin x \) atinge \( \displaystyle 0 \) la capete și \( \displaystyle 1 \) la \( \displaystyle \frac{\pi}{2} \)

Cuprins

Explicație
Exerciții