Funcția f este continuă în punctul \( \displaystyle x_0 \) dacă există
\( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) \) și această limită este egală cu valoarea funcției:
\( \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0) \)
Dacă \( \displaystyle x_0 \) este punct izolat al domeniului, considerăm prin definiție că funcția este continuă în acel punct
Continuitate pe o mulțime
Funcția este continuă pe \( \displaystyle E \) dacă este continuă în fiecare punct al lui \( \displaystyle E \)
Exemplu rezolvat
Problemă Verifică dacă \( \displaystyle f(x)=x^2 \) este continuă în \( \displaystyle x_0=3 \)
Știm că \( \displaystyle \lim_{x\to 3} x^2 = 3^2=9 \) și \( \displaystyle f(3)=9 \)
Deci \( \displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)=f(3) \), funcția este continuă în \( \displaystyle x_0=3 \)
Exerciții
1
Stabilește dacă \( \displaystyle f(x)=3x-2 \) este continuă în \( \displaystyle x_0=1 \)
Răspuns: \( \displaystyle \text{Da} \)
2
Stabilește dacă \( \displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} \) este continuă în \( \displaystyle x_0=1 \)
Răspuns: \( \displaystyle \text{Nu} \)
3
Pentru \( \displaystyle f(x)=\begin{cases}x+1,&x\neq 2\\5,&x=2\end{cases} \) verifică continuitatea în \( \displaystyle x_0=2 \)
Răspuns: \( \displaystyle \text{Nu} \)
4
Verifică continuitatea lui \( \displaystyle f(x)=|x| \) în \( \displaystyle x_0=0 \)
Răspuns: \( \displaystyle \text{Da} \)
5
Stabilește dacă \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \) este continuă în \( \displaystyle x_0=0 \)
Răspuns: \( \displaystyle \text{Nu} \)
Răspunsuri
1
\( \displaystyle \text{Da} \)
2
\( \displaystyle \text{Nu} \)
3
\( \displaystyle \text{Nu} \)
4
\( \displaystyle \text{Da} \)
5
\( \displaystyle \text{Nu} \)
Rezolvări
1
\( \displaystyle \lim_{x\to 1}(3x-2)=3\cdot 1-2=1 \) \( \displaystyle f(1)=1 \) Limita este egală cu valoarea funcției deci este continuă
2
Funcția nu este definită în \( \displaystyle x=1 \) deoarece numitorul devine \( \displaystyle 0 \) O funcție nu poate fi continuă într-un punct în care nu este definită
3
\( \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}(x+1)=3 \) \( \displaystyle f(2)=5 \) Limita nu este egală cu valoarea funcției deci nu este continuă
4
\( \displaystyle \lim_{x\to 0}|x|=0 \) deoarece valorile se apropie de \( \displaystyle 0 \) din ambele părți \( \displaystyle f(0)=0 \) Deci este continuă
5
Funcția nu este definită în \( \displaystyle 0 \) Deci nu poate fi continuă în \( \displaystyle x_0=0 \)