Matrice inversabilă și inversa

Inversa este ca „împărțirea” la matrice: dacă există \( \displaystyle A^{-1}\), atunci poți reveni din \( \displaystyle AX\) la \( \displaystyle X\)

O matrice pătratică \( \displaystyle A\) este inversabilă dacă există \( \displaystyle A^{-1}\) astfel încât
\( \displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=I\)
Pentru \( \displaystyle A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\), dacă \( \displaystyle \det A=ad-bc\neq 0\), atunci
\( \displaystyle A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)
Exemplu rezolvat
Găsește \( \displaystyle A^{-1}\) pentru \( \displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\)
\( \displaystyle \det A=2\cdot 2-1\cdot 3=1\)
Deci \( \displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}\)
Verificare rapidă: \( \displaystyle \begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)

Exerciții

1
Determină \( \displaystyle A^{-1}\) pentru \( \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)
2
Spune dacă \( \displaystyle A=\begin{pmatrix}2&4\\1&2\end{pmatrix}\) este inversabilă
3
Găsește \( \displaystyle \det(A^{-1})\) dacă \( \displaystyle \det(A)=5\)
4
Rezolvă \( \displaystyle AX=B\) pentru \( \displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\), \( \displaystyle B=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)
5
Determină \( \displaystyle A^{-1}\) pentru \( \displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\)

Răspunsuri

Rezolvări

Înapoi Următor