Transformări elementare pe linii și sisteme echivalente
Ținta: să “simplificăm” sistemul fără să-i schimbăm mulțimea soluțiilor
Lucrăm pe matricea extinsă \( \displaystyle (A\,|\,B) \)
Transformări care păstrează soluțiile
1) Schimbăm două linii
2) Înmulțim o linie cu \( \displaystyle k\neq 0 \)
3) Adăugăm la o linie un multiplu al altei linii
Pe scurt: sunt exact mișcările din metoda Gauss
Exemplu rezolvat
Simplifică sistemul \( \displaystyle \begin{cases} x+2y=5\\ 2x+4y=10 \end{cases} \)
Linia 2 \(\displaystyle \leftarrow\) Linia 2 \(-2\cdot\) Linia 1
Obținem \( \displaystyle \begin{cases} x+2y=5\\ 0=0 \end{cases} \)
Deci sunt infinit de soluții: \( \displaystyle y=t,\; x=5-2t \)
Exerciții
1
Aplică transformarea \( \displaystyle L_2\leftarrow L_2-3L_1 \) pe matricea extinsă \( \displaystyle \begin{pmatrix}1&2|5\\ 3&7|1\end{pmatrix} \)
2
Spune ce se întâmplă cu mulțimea soluțiilor dacă înmulțești o ecuație cu \( \displaystyle 5 \)
3
Simplifică \( \displaystyle \begin{cases} x-y=1\\ 2x-2y=2 \end{cases} \)
4
Arată că sistemele \( \displaystyle \begin{cases} x+y=2\\ x-y=0 \end{cases} \) și \( \displaystyle \begin{cases} x+y=2\\ 2x=2 \end{cases} \) sunt echivalente
5
Aplică \( \displaystyle L_1\leftrightarrow L_2 \) pe \( \displaystyle \begin{pmatrix}0&1|3\\ 2&-1|4\end{pmatrix} \)