Dezvoltarea determinantului de ordin 3 după o linie/coloană

Metodă clară și repetabilă pentru calcul, mult mai sigură decât „Sarrus pe fugă”

Ideea
La ordin 3 alegi o linie sau o coloană (de preferat cu multe zerouri) și scrii determinantul ca sumă de termeni „element \(\times\) cofactor”

Formulă (după linia 1)
Pentru \( \displaystyle A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\)

\( \displaystyle |A|=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}\)

unde \( \displaystyle A_{1j}=(-1)^{1+j}M_{1j}\) și \( \displaystyle M_{1j}\) este minorul (determinantul de ordin 2 obținut prin tăierea liniei 1 și coloanei \( \displaystyle j\))

Exemplu rezolvat
Calculează \( \displaystyle \det\begin{pmatrix}1&0&2\\3&1&-1\\0&4&2\end{pmatrix}\) dezvoltând după linia 1

\( \displaystyle |A|=1\cdot A_{11}+0\cdot A_{12}+2\cdot A_{13}\)
\( \displaystyle M_{11}=\det\begin{pmatrix}1&-1\\4&2\end{pmatrix}=1\cdot 2-(-1)\cdot 4=2+4=6\Rightarrow A_{11}=(-1)^{2}\cdot 6=6\)
\( \displaystyle M_{13}=\det\begin{pmatrix}3&1\\0&4\end{pmatrix}=3\cdot 4-1\cdot 0=12\Rightarrow A_{13}=(-1)^{4}\cdot 12=12\)
\( \displaystyle |A|=1\cdot 6+2\cdot 12=6+24=30\)

Truc practic
Alege linia/coloana cu cele mai multe zerouri ca să ai cât mai puțini minori de calculat

Exerciții

Calculează \( \displaystyle \det\begin{pmatrix}2&0&1\\1&3&-1\\0&2&4\end{pmatrix}\) dezvoltând după prima coloană

Calculează \( \displaystyle \det\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&4\\0&5&2\end{pmatrix}\) dezvoltând după prima coloană

Calculează \( \displaystyle \det\begin{pmatrix}0&2&1\\0&3&4\\5&1&0\end{pmatrix}\) dezvoltând după prima coloană

Determină \( \displaystyle k\) astfel încât \( \displaystyle \det\begin{pmatrix}1&0&2\\k&1&-1\\0&4&2\end{pmatrix}=0\)

Calculează \( \displaystyle \det\begin{pmatrix}3&1&0\\2&0&1\\5&2&0\end{pmatrix}\) dezvoltând după coloana 3

Răspunsuri

Rezolvări

Dezvoltare după col 1
\( \displaystyle |A|=2\det\begin{pmatrix}3&-1\\2&4\end{pmatrix}-1\det\begin{pmatrix}0&1\\2&4\end{pmatrix}+0\cdot(\cdots)\)
\( \displaystyle =2(12+2)-1(0-2)=2\cdot 14+2=30\)
Corectăm semnul la al doilea termen pentru cofactor \( \displaystyle (-1)^{2}\)
\( \displaystyle |A|=2\cdot 14-1\cdot(-2)=28+2=30\)

Coloana 1 are două zerouri
\( \displaystyle |A|=1\cdot \det\begin{pmatrix}-1&4\\5&2\end{pmatrix}=(-1)\cdot 2-4\cdot 5=-2-20=-22\)

Doar elementul \( \displaystyle a_{31}=5\) contează
\( \displaystyle |A|=5\cdot(-1)^{3+1}\det\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}=5\cdot(8-3)=25\)
Atenție \( \displaystyle (-1)^{4}=1\) deci rămâne \( \displaystyle 25\)
Reverificăm minorul
\( \displaystyle \det\begin{pmatrix}2&1\\3&4\end{pmatrix}=2\cdot 4-1\cdot 3=8-3=5\Rightarrow |A|=5\cdot 5=25\)

Dezvoltare ca în exemplu
\( \displaystyle |A|=1\cdot 6+2\cdot(4k)\) deoarece \( \displaystyle M_{13}=\det\begin{pmatrix}k&1\\0&4\end{pmatrix}=4k\)
\( \displaystyle 6+8k=0\Rightarrow k=-\frac{3}{4}\)
Corectăm: \( \displaystyle |A|=1\cdot(1\cdot 2-(-1)\cdot 4)+2\cdot(k\cdot 4-1\cdot 0)=6+8k\Rightarrow k=-\frac{3}{4}\)

Col 3 are două zerouri
\( \displaystyle |A|=1\cdot(-1)^{2+3}\det\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}=-\,(6-5)=-1\)

Cuprins

Explicație
Exerciții