Proiecții ortogonale și unghiul dintre o dreaptă și un plan
Ideea de bază: „umbra” pe plan (proiecția) + unghiul se ia cu proiecția, nu cu o dreaptă aleasă la întâmplare
Distanța de la un punct la un plan
Distanța de la punctul \( \displaystyle A \) la planul \( \displaystyle \alpha \) este lungimea segmentului \( \displaystyle AA_1 \), unde \( \displaystyle A_1 \) este proiecția ortogonală a lui \( \displaystyle A \) pe \( \displaystyle \alpha \)
Deci \( \displaystyle d(A,\alpha)=AA_1 \) și \( \displaystyle AA_1\perp \alpha \)
Unghiul dintre o dreaptă și un plan
Unghiul format de o dreaptă și un plan este unghiul ascuțit format de dreapta respectivă și proiecția ei ortogonală pe plan
Dacă \( \displaystyle \varphi \) este acest unghi, atunci pentru un segment \( \displaystyle AB \) și proiecția lui \( \displaystyle A_1B_1 \) pe plan:
\( \displaystyle A_1B_1 = AB\cos\varphi \)
Cum folosești formula rapid
Vrei proiecția \( \displaystyle A_1B_1 \) → ai nevoie de \( \displaystyle AB \) și \( \displaystyle \cos\varphi \)
Vrei unghiul \( \displaystyle \varphi \) → folosești \( \displaystyle \cos\varphi=\dfrac{A_1B_1}{AB} \)
Exemplu rezolvat (clasic)
Punctul \( \displaystyle A \) este la distanța \( \displaystyle AA_1=5 \) cm de planul \( \displaystyle \alpha \). Segmentul \( \displaystyle AB \) are \( \displaystyle AB=13 \) cm, iar \( \displaystyle B\in \alpha \). Află \( \displaystyle A_1B \) și \( \displaystyle \cos\varphi \), unde \( \displaystyle \varphi \) este unghiul dintre \( \displaystyle AB \) și \( \displaystyle \alpha \)
În triunghiul dreptunghic \( \displaystyle AA_1B \) (drept în \( \displaystyle A_1 \)):
\( \displaystyle AB^2=AA_1^2 + A_1B^2 \Rightarrow 13^2=5^2+A_1B^2 \Rightarrow A_1B^2=169-25=144 \Rightarrow A_1B=12 \)
Proiecția lui \( \displaystyle AB \) pe plan este \( \displaystyle A_1B \), deci
\( \displaystyle \cos\varphi=\dfrac{A_1B}{AB}=\dfrac{12}{13} \)
Ideea de bază: „umbra” pe plan (proiecția) + unghiul se ia cu proiecția, nu cu o dreaptă aleasă la întâmplare
Distanța de la un punct la un plan
Distanța de la punctul \( \displaystyle A \) la planul \( \displaystyle \alpha \) este lungimea segmentului \( \displaystyle AA_1 \), unde \( \displaystyle A_1 \) este proiecția ortogonală a lui \( \displaystyle A \) pe \( \displaystyle \alpha \)
Deci \( \displaystyle d(A,\alpha)=AA_1 \) și \( \displaystyle AA_1\perp \alpha \)
Unghiul dintre o dreaptă și un plan
Unghiul format de o dreaptă și un plan este unghiul ascuțit format de dreapta respectivă și proiecția ei ortogonală pe plan
Dacă \( \displaystyle \varphi \) este acest unghi, atunci pentru un segment \( \displaystyle AB \) și proiecția lui \( \displaystyle A_1B_1 \) pe plan:
\( \displaystyle A_1B_1 = AB\cos\varphi \)
Cum folosești formula rapid
Vrei proiecția \( \displaystyle A_1B_1 \) → ai nevoie de \( \displaystyle AB \) și \( \displaystyle \cos\varphi \)
Vrei unghiul \( \displaystyle \varphi \) → folosești \( \displaystyle \cos\varphi=\dfrac{A_1B_1}{AB} \)
Exemplu rezolvat (clasic)
Punctul \( \displaystyle A \) este la distanța \( \displaystyle AA_1=5 \) cm de planul \( \displaystyle \alpha \). Segmentul \( \displaystyle AB \) are \( \displaystyle AB=13 \) cm, iar \( \displaystyle B\in \alpha \). Află \( \displaystyle A_1B \) și \( \displaystyle \cos\varphi \), unde \( \displaystyle \varphi \) este unghiul dintre \( \displaystyle AB \) și \( \displaystyle \alpha \)
În triunghiul dreptunghic \( \displaystyle AA_1B \) (drept în \( \displaystyle A_1 \)):
\( \displaystyle AB^2=AA_1^2 + A_1B^2 \Rightarrow 13^2=5^2+A_1B^2 \Rightarrow A_1B^2=169-25=144 \Rightarrow A_1B=12 \)
Proiecția lui \( \displaystyle AB \) pe plan este \( \displaystyle A_1B \), deci
\( \displaystyle \cos\varphi=\dfrac{A_1B}{AB}=\dfrac{12}{13} \)