Dreaptă în plan • dreaptă secantă cu planul • dreaptă paralelă cu planul
Poziții relative
Pentru o dreaptă \( \displaystyle a \) și un plan \( \displaystyle \alpha \) apar 3 situații esențiale
\( \displaystyle a\subset \alpha \) dreapta este în plan
\( \displaystyle a\cap\alpha=\{A\} \) dreapta este secantă cu planul
\( \displaystyle a\cap\alpha=\varnothing \) dreapta este paralelă cu planul
Criteriu practic foarte folosit
Dacă există o dreaptă \( \displaystyle b\subset \alpha \) cu \( \displaystyle a\parallel b \) și \( \displaystyle a\not\subset \alpha \), atunci \( \displaystyle a\parallel \alpha \)
Intuiție: dacă dreapta merge „în aceeași direcție” cu o dreaptă din plan și nu intră în plan, atunci nu îl va intersecta
Schiță: dreaptă paralelă cu un plan
Dacă \( \displaystyle b\subset\alpha \) și \( \displaystyle a\parallel b \), atunci \( \displaystyle a\parallel \alpha \) când \( \displaystyle a\not\subset\alpha \)
Schiță: dreaptă secantă cu un plan
Când \( \displaystyle a\cap\alpha=\{A\} \), dreapta este secantă cu planul
Exemplu rezolvat
În cubul \( \displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1 \) arată că \( \displaystyle AB\parallel (A_1B_1C_1D_1) \)
Dreapta \( \displaystyle AB \) este în planul bazei \( \displaystyle (ABCD) \)
Planurile \( \displaystyle (ABCD) \) și \( \displaystyle (A_1B_1C_1D_1) \) sunt fețe opuse ale cubului, deci sunt paralele
O dreaptă dintr-un plan este paralelă cu orice plan paralel cu acel plan, dacă dreapta nu aparține planului respectiv
Cum \( \displaystyle AB\subset(ABCD) \) și \( \displaystyle AB\not\subset(A_1B_1C_1D_1) \), rezultă \( \displaystyle AB\parallel (A_1B_1C_1D_1) \)
Exerciții
1
În cubul \( \displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1 \), stabilește relația dintre dreapta \( \displaystyle AB \) și planul \( \displaystyle (A_1B_1C_1D_1) \)
Răspuns: Paralelă
2
Dacă \( \displaystyle a\subset \alpha \), ce relație are \( \displaystyle a \) cu \( \displaystyle \alpha \)
Răspuns: \( \displaystyle a\parallel \alpha \)
3
Dacă \( \displaystyle b\subset \alpha \), \( \displaystyle a\parallel b \) și \( \displaystyle a\not\subset \alpha \), ce rezultă
Răspuns: \( \displaystyle a\parallel \alpha \)
4
În cubul \( \displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1 \), stabilește relația dintre dreapta \( \displaystyle AA_1 \) și planul \( \displaystyle (ABCD) \)
Răspuns: Secantă
5
Dacă \( \displaystyle a\cap\alpha=\{A\} \), cum se numește dreapta \( \displaystyle a \) față de planul \( \displaystyle \alpha \)
Răspuns: Secantă
Răspunsuri
1
Paralelă
2
\( \displaystyle a\parallel \alpha \)
3
\( \displaystyle a\parallel \alpha \)
4
Secantă
5
Secantă
Rezolvări
1
Planurile \( \displaystyle (ABCD) \) și \( \displaystyle (A_1B_1C_1D_1) \) sunt paralele, iar \( \displaystyle AB\subset(ABCD) \) și nu aparține planului de sus, deci \( \displaystyle AB\parallel(A_1B_1C_1D_1) \)
2
În definiția uzuală din manuale, dreapta este considerată paralelă cu planul dacă nu are puncte comune sau dacă este inclusă în plan, deci \( \displaystyle a\parallel \alpha \)
3
Dreapta \( \displaystyle a \) are aceeași direcție cu o dreaptă din plan, iar cum \( \displaystyle a \) nu este în plan, ea nu îl poate intersecta, deci este paralelă cu planul
4
Dreapta \( \displaystyle AA_1 \) întâlnește planul bazei în punctul \( \displaystyle A \), deci \( \displaystyle AA_1\cap(ABCD)=\{A\} \) și este secantă
5
Prin definiție, dacă există exact un punct comun, dreapta este secantă cu planul