Când un număr complex e în formă trigonometrică, puterea devine foarte ușoară: ridici modulul la putere și înmulțești argumentul cu exponentul

Dacă \( \displaystyle z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\), atunci pentru \( \displaystyle n\in\mathbb Z\)
\( \displaystyle z^n=r^n\big(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)\big)\)
Pentru \( \displaystyle n<0\), reții că \( \displaystyle z^n=\frac{1}{z^{-n}}\) și \( \displaystyle r>0\)

Interpretare simplă
Puterea „rotește” punctul de \( \displaystyle n\) ori unghiul și „scalează” distanța față de origine cu factorul \( \displaystyle r^n\)

Exemplu rezolvat
Calculează \( \displaystyle (1+i)^8\)

Scriem \( \displaystyle 1+i\) trigonometric
\( \displaystyle r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\), iar \( \displaystyle \varphi=\frac{\pi}{4}\)
Deci \( \displaystyle 1+i=\sqrt2\Big(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Big)\)
Aplicăm Moivre
\( \displaystyle (1+i)^8=(\sqrt2)^8\Big(\cos(8\cdot\frac{\pi}{4})+i\sin(8\cdot\frac{\pi}{4})\Big)=16(\cos 2\pi+i\sin 2\pi)=16\)

Exerciții

Răspuns: \( \displaystyle 32\Big(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\Big)\)

Răspuns: \( \displaystyle \cos 2\pi+i\sin 2\pi=1\)

Răspuns: \( \displaystyle 3^7=2187\)

Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{8}\big(\cos(3\varphi)-i\sin(3\varphi)\big)\)

Răspuns: \( \displaystyle -1\)