Două plane \( \displaystyle \alpha \) și \( \displaystyle \beta \) sunt paralele dacă nu au puncte comune sau coincid
\( \displaystyle \alpha\cap\beta=\varnothing \) sau \( \displaystyle \alpha\equiv\beta \)
Criteriu foarte practic
Dacă un plan \( \displaystyle \alpha \) conține două drepte concurente \( \displaystyle a,b \) iar planul \( \displaystyle \beta \) conține două drepte concurente \( \displaystyle a_1,b_1 \) cu \( \displaystyle a\parallel a_1 \) și \( \displaystyle b\parallel b_1 \), atunci \( \displaystyle \alpha\parallel\beta \)
Ideea: două direcții diferite fixează planul, dacă direcțiile sunt păstrate paralele, planele devin paralele
Schiță: plane paralele
Când \( \displaystyle \alpha\cap\beta=\varnothing \), planele sunt paralele
Schiță: plane secante
Dacă planele se intersectează, intersecția este o dreaptă \( \displaystyle d \)
Exemplu rezolvat
În prisma \( \displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1 \) arată că planele \( \displaystyle (ABCD) \) și \( \displaystyle (A_1B_1C_1D_1) \) sunt paralele
În planul \( \displaystyle (ABCD) \) avem dreptele concurente \( \displaystyle AB \) și \( \displaystyle AD \)
În planul \( \displaystyle (A_1B_1C_1D_1) \) avem dreptele concurente \( \displaystyle A_1B_1 \) și \( \displaystyle A_1D_1 \)
În prismă, \( \displaystyle AB\parallel A_1B_1 \) și \( \displaystyle AD\parallel A_1D_1 \)
Aplicăm criteriul cu două direcții: două drepte concurente dintr-un plan sunt paralele cu două drepte concurente din alt plan
Rezultă \( \displaystyle (ABCD)\parallel(A_1B_1C_1D_1) \)
Exerciții
1
În cubul \( \displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1 \), stabilește relația dintre dreapta \( \displaystyle AB \) și planul \( \displaystyle (A_1B_1C_1D_1) \)
Răspuns: Paralelă
2
Dacă \( \displaystyle a\subset \alpha \), ce relație are \( \displaystyle a \) cu \( \displaystyle \alpha \)
Răspuns: \( \displaystyle a\parallel \alpha \)
3
Dacă \( \displaystyle b\subset \alpha \), \( \displaystyle a\parallel b \) și \( \displaystyle a\not\subset \alpha \), ce rezultă
Răspuns: \( \displaystyle a\parallel \alpha \)
4
În cubul \( \displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1 \), stabilește relația dintre dreapta \( \displaystyle AA_1 \) și planul \( \displaystyle (ABCD) \)
Răspuns: Secantă
5
Dacă \( \displaystyle a\cap\alpha=\{A\} \), cum se numește dreapta \( \displaystyle a \) față de planul \( \displaystyle \alpha \)
Răspuns: Secantă
Răspunsuri
1
Paralelă
2
\( \displaystyle a\parallel \alpha \)
3
\( \displaystyle a\parallel \alpha \)
4
Secantă
5
Secantă
Rezolvări
1
Planurile \( \displaystyle (ABCD) \) și \( \displaystyle (A_1B_1C_1D_1) \) sunt paralele, iar \( \displaystyle AB\subset(ABCD) \) și nu aparține planului de sus, deci \( \displaystyle AB\parallel(A_1B_1C_1D_1) \)
2
În definiția uzuală din manuale, dreapta este considerată paralelă cu planul dacă nu are puncte comune sau dacă este inclusă în plan, deci \( \displaystyle a\parallel \alpha \)
3
Dreapta \( \displaystyle a \) are aceeași direcție cu o dreaptă din plan, iar cum \( \displaystyle a \) nu este în plan, ea nu îl poate intersecta, deci este paralelă cu planul
4
Dreapta \( \displaystyle AA_1 \) întâlnește planul bazei în punctul \( \displaystyle A \), deci \( \displaystyle AA_1\cap(ABCD)=\{A\} \) și este secantă
5
Prin definiție, dacă există exact un punct comun, dreapta este secantă cu planul