Ideea (simplu)

Luăm o secantă prin punctele \( \displaystyle A(x_0,f(x_0)) \) și \( \displaystyle B(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x)) \)

Pe măsură ce \( \displaystyle \Delta x \to 0 \), secanta „tinde” la o dreaptă limită: tangenta în punctul \( \displaystyle A \)

Panta secantei: \( \displaystyle m(\Delta x)=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \)

Panta tangentei: \( \displaystyle m=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \)

Ecuația tangentei: \( \displaystyle y=f(x_0)+m(x-x_0) \)

Exemplu rezolvat

Determină tangenta la \( \displaystyle y=x^2 \) în punctul \( \displaystyle x_0=2 \)

\( \displaystyle m=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(2+\Delta x)^2-2^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{4+4\Delta x+\Delta x^2-4}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}(4+\Delta x)=4 \)

\( \displaystyle f(2)=4 \Rightarrow y=4+4(x-2)=4x-4 \)

Deci tangenta este \( \displaystyle y=4x-4 \)